尼尔森电路-notes
第1章 电路变量
1.1.1 电路理论
波长 $\lambda$ 等于信号的速度除以频率, 即 $\lambda = c / f$.
记忆方法, $\lambda$ 看作是路程, c 是光速, 即速度, f 是时间.
如果信号的波长比系统的物理尺寸大得多, 则称系统为 集总参数系统 (电信号能同时影响系统中的所有点).
1.2 国际单位制
一般使用的指数为能被 3 整除的幂, 如: $10^{-5}$ 常写为 $10^{-5} = 10 \times 10^{-6}$.
1.4 电压与电流
电荷的特性:
- 电荷量是离散量, 是电子电荷量 $1.6022 \times 10^{-19} c$ 的整数倍.
- 电现象归结为电荷的分离和电荷的运动
在电路理论中, 电荷的分离引起电能 (电压), 电荷的运动引起电的流动 (电流).
无论是正电荷还是负电荷被分离, 都要消耗能量. 可以想, 一正一负两个电荷起初很接近, 要让正电荷远离, 需要做负功, 消耗能量转换成势能.
电压 是由分离引起的单位电荷的能量 (将正负电荷分开, 要做负功, 也就是消耗能量, 这个时候势能也就是电压就会产生), 表示为微分量的比:
$v = \frac{\partial w}{\partial q}$
单位 $v = j/c$
电荷运动引起的电现象取决于电荷流动的速率，电荷流动的速率统称为电流:
$$
\displaylines{i = \frac{dq}{dt}}
$$
单位 $a = c/t$
尽管电流是由离散运动的电子组成，但是没有必要单独考虑电子的运动，因为电子的数量太大了，可以将这些电子和相应的电荷看成是平滑的流体，因此， $i$ 被视为连续量.
1.5 理想基本电路元件
无源符号约定:
电流方向和元件电压降的参考方向一致，就在电压与电流相关的表达式中使用正号 (+), 否则使用负号 (-).
点压降的参考方向 即从器件正极到负极:
功率为正，电子损失能量 $p = vi$
功率为负，电子获得能量 $p = -vi$
第一章习题
1.9
关于:
$dq = 20cos5000y dy$
这种式子的解法.
两边同时积分. 这里 substitute x for q on the left side and y for t on the right side:
$\int_{q(0)}^{q(t)}dx = 20\int_0^tcos5000ydy$
为什么是 $q(t)$ 和 $q(0)$, 因为可能有常数.
1.10
这里的一个单位不太清楚:
$elec/s$
这个其实不用管, 这个直接理解就是每秒多少个电子.
1.11
什么是阿托焦耳 $(aj)$ 单位.
$aj$ 表示 $10^{-18}j$
1.12
电路元件的功率为正表示 吸收功率. (吸收就理解为,
消耗别人提供的能量)
电路元件的功率为负表示 释放功率. (释放就理解为, 给别人能量)
电压的正负表示电子通过这个电路元件的时候是 压降 还是 压升. (压降就理解为电子需要的能量, 压升理解为电子要释放的能量)
比如, 电压为 $60v$, 意思就是电子通过时电压下降, 因此电子获得能量. (电源为 $60v$, 意思是电子经过时会有 60ev 的势能转化为动能, 就是需要 60ev 的势能)
1.14
电压的极性可以用来判断电压下降的方向.
压降和电流的方向结合用来判断一个电路元件是吸收功率还是释放功率.
1.15
电流的方向似乎和电压的正负关系不大.
1.18
计算电路元件的端电压和电流释放到元件上的总能量, 需要计算无穷的积分, 如:
$\int_0^{+\infty}$
1.29
用电流和电压计算功率 $p$ 之前要先判断是 $p = ui$ 还是 $p = -ui$
通过电流方向和压降判断.
1.30
功率检查, 就是计算释放功率和吸收功率, 看其值是否相等.
第2章 电路元件
五个理想的基本电路元件:
- 电压源
- 电流源
- 电阻
- 电感
- 电容
2.1 电压源和电流源
电源，是将非电能转换为电能. (如电池将化学能转换为电能).
电源为 3v 意味着，一个电子到达电源时，电源消耗能量将电子从电源正极移动到电源负极, 这个过程像登山一般 (即压升)，电子的电势能会增加 到 3ev，而到达负极之后，电子的电势能就会转化为动能，像下山一样.
将电能转化为机械能的称为电动机.
理想电压源 是一种电路元件，无论流过其两端电流的大小如何. 都将保持电压为稳定值.
理想电流源 是一种电路元件，保持电流为规定值，而不论电压的大小如何。
独立源 , 电压或电流值由独立源的数值指定.
非独立源 , 电压或电流值取决于电路其他处的电压或电流.
用圆圈符号表示独立源:
菱形符号表示非独立源:
有源元件 指可以产生电能的器件.
无源元件 指不能产生电能的器件. 如电阻，电感和电容.
2.2 电阻 (欧姆定律)
电阻是物质阻碍电流 (或电荷) 流动的能力.
可以想象，构成电流的电子在运动过程中与物质原子结构相互作用并受到一定的阻力. 在相互作用过程中，一些电能被转化为热能并且以热的形式消耗掉.
大多数材料对电流的电阻是可测量的。电阻的数值大小取决于所用的材料.
电阻的导数称为电导. 符号用字母 $g$ 表示，单位是西门子 (s):
$$
\displaylines{g = \frac{1}{r}s}
$$
2.3 电路模型结构
短路 –> $r = 0$
开路 (断路) –> $r = \infty$ (空气的电阻很大)
2.4 基尔霍夫定律
端点 是分立电路元件的起点和终点.
节点 是两个或多个元件的连接点 ( 注意 用导线连接的两个节点，即压降为零的两个节点可视为一个节点 )
基尔霍夫电流定律
电路中，任何节点上的所有电流的代数和等于零.
一般情况下, 节点电流的正负:
- 离开节点的电流为正号，进入节点的为负号
- 离开节点的电流为负号，进入节点的为正号
(可以自己规定)
如, 这里以进入为正:
$$
\displaylines{i_1 - i_2 - i_3 = 0}
$$
含有 n 个节点的电路中，利用基尔霍夫电流定律可以得到 $n - 1$ 个独立的电流方程式.
(为什么是 n-1 个, 原本可以列出 n 个方程, 但第 n 个方程可以用其他 n-1 个推导出)
例子:
这里有三个节点, 因此可以列出三个方程:
$$
\displaylines{
\begin{cases}
i_1 - i_2 = 0 \newline~ \newline
i_2 - i_3 = 0 \newline~ \newline
i_3 - i_1 = 0
\end{cases}
}
$$
可以从前两个式子推出第三个, 因此只需要两个方程:
$$
\displaylines{
\begin{cases}
i_1 - i_2 = 0 \newline~ \newline
i_2 - i_3 = 0
\end{cases}
}
$$
即 n-1 个方程式.
基尔霍夫电压定律
在电路中，环绕任何闭合路径的的所有电压的代数和等于零.
闭合路径 任选一个节点作为起点，若沿着电路中的闭合路径，则通过所选的基本电路元件回到原始节点，期间通过任何中间节点都不超过一次.
电压降用正号.
2.5 含受控源电路的分析
不是任何闭合路径都能根据基尔霍夫电压定律提供有用的方程.
不是任何节点都能根据基尔霍夫电流定律提供有用的方程.
结合基尔霍夫两个定律来列写有用的方程.
第3章 简单电阻电路
历史上，直流电流定义为由恒定电压产生的电流. 因此，恒定电压被称作直流 (或 dc) 电压.
3.3 分压器和分流器电路
分压器其实就是利用电阻串联分压.
分流器其实就是利用电阻并联分流.
3.4 分压法和分流法
分压法公式:
$$
\displaylines{v_j = ir_j \newline~ \newline
i = \frac{v}{r_{eq}} \newline~ \newline
v_j = \frac{r_j}{r_{eq}}v}
$$
也就是电阻占总电阻的多少.
(这里的 $v$ 指总电压, $r_{eq}$ 指等效电阻, 也就是总电阻)
分流法公式:
$$
\displaylines{i_j = \frac{v}{r_j} \newline~ \newline
v = ir_{eq} \newline~ \newline
i_j = \frac{r_{eq}}{r_j}i}
$$
电压是总电流乘以等效电阻.
(这里的 $i$ 指总电流, $r_{eq}$ 指等效电阻, 也就是总电阻, 电阻分流中, 电流和电阻成反比)
如有两个并联电阻, $1\Omega$ 和 $2\Omega$, 前者分到的电流为 $\frac{2}{1+2}$, 后者分到的电流为 $\frac{1}{1+2}$.
3.5 测量电压和电流
电流表是测量电流的仪器, 它与需要测量电流的电路元件串联。
电压表是测量电压的仪器，它与需要测量电压的电路元件并联.
用于测量连续电压和电流的仪器主要有两种类型:
- 数字仪表
- 模拟仪表, 基于达松伐 (d’arsonval) 仪表装置
3.6 惠斯通电桥
惠斯通电桥电路电路可以用来精确地测量一定范围内的电阻值, 测量范围从 $1 \omega$ ~ $1m \omega$.
电桥电路包含:
- 四个电阻, $r_1$, $r_2$, $r_3$ 是已知电阻
- 一个直流电压源
- 一个探测器
四个电阻中有一个电阻可以变化 (带箭头). 直流电压源通常使用电池.
公式推导
$$
\displaylines{i_g = 0 \newline~ \newline i_1 = i_3 \newline~ \newline i_2 = i_x \newline~ \newline i_3 r_3 = i_x r_x \newline~ \newline i_1 r_1 = i_2 r_2 \newline~ \newline i_1 r_3 = i_2 r_x \newline~ \newline \frac{r_3}{r_1} = \frac{r_x}{r_2} \newline~ \newline r_x = \frac{r_2}{r_1} r_3}
$$
注意：如果位置电阻是 $1000 \omega$, 而 $r_3$ 只能从 0 变化到 100 $\omega$, 那么电桥就永远不会平衡.
上面推导中, 从 $i_g = 0$ 表明, 探测器两端点的电势相同, 即从电源到探测器两端点的电压降相同, 因此得到 $i_1 r_1 = i_2 r_2$, 由于两支路并联, 有 $i_1 (r_1 + r_3) = i_2 (r_2 + r_x)$, 可以得知剩下的两支路相等, 即 $i_1 r_3 = i_2 r_x$.
3.7 $\Delta - Y (\pi - T)$ 等效电路
这里的 $\Delta$, $Y$, $\pi$, 以及 $t$都是形状上直观相似.
$\Delta$ 互联可以变为 $Y$ 互联.
$\pi$ 结构可以变成 $T$ 结构.
$\Delta$ 变换为 $Y$ 前后，相应端口之间的电阻相等，如上图 3.31 中: $\Delta$ 结构中 $r_{ab}$ 指的是 $r_c$ 与 $r_b + r_a$ 并联. $y$ 结构中, $r_{ab}$ 指 $r_1 + r_2$:
$$
\displaylines{r_{ab} = \frac{r_c (r_a + r_b)}{r_a + r_b + r_c} = r_1 + r_2}
$$
(等效电路中最重要的就是端口之间的联系)
最终的转化公式为:
第4章 电路分析法
生产的电阻阻值是离散的，一批电阻中的某个电阻阻值是在标准值附近变化的，变化值在容差范围内.
研究电路组件的数值对电路输出的影响称为灵敏度分析.
4.1 术语
一个画有交叉支路的电路，如果能重新画成没有交叉支路的电路，就仍可以认为是 平面电路.
节点电压法 可以应用于平面和非平面电路.
网孔电流法 只能应用于平面电路.
4.1.1 描述电路的词汇
4.2 节点电压法
节点电压法是利用 基尔霍夫电流定律 求解. (因为是用 $\frac{v}{r}$ 表示电流, 所以最终表达式中留下的是电压, 就是电压法)
需要的方程数为 $基本节点数 - 1$
独立源 似乎都是释放功率 ?
进入节点的电流一般标记为 负 .
步骤
- 调整电路至没有支路重叠，标出基本节点
- 在基本节点中选择一个作为参考节点, 且用
来标记 (一般选择通过大量支路的基本节点)
选择基本节点时注意: 无压降的两个节点可视为一个节点，如两个节点之间用导线连接，可视为一个节点.
节点电压的定义 从参考节点到非参考节点的电压升. (暂且理解为这条支路上的电势)
4.3 节点电压法和非独立源
在使用节点电压法时，若电路中有非独立源, 除了$基本节点数 - 1$ 的方程外，还需联立非独立源受外部影响的关系式.
如这幅图:
需要额外联立的方程就是:
$$
\displaylines{ i_\phi = \frac{v_1 - v_2}{5}}
$$
4.4 节点电压法的特例
当一个电压源是两个基本节点之间仅有的元件时，节点电压法可以简化.
如这幅图:
电源和两个基本节点直接相连, 此时 $v_1$ 的电压就可以直接得出 – 为电源电压, 因此此时就只有一个未知数。
原本三个基本节点，需要联立两个方程，现在只需要一个. (其实还是两个, 只不过一个为, 如: $v = 10v$)
4.4.1 超节点的概念
超节点就是当一个电压源(不管是独立还是非独立)在两个基本节点之间时，将这些节点看作一个节点.
(定义超节点的理由, 相当于, 对两个节点列的两个方程合并写为一个, 少写一个方程, 也可以看作少了一个节点, 毕竟两个节点变成了一个)
基尔霍夫电流定律对超节点仍然有效.
如将这幅图中的节点 2, 3 和其中的电流源合并为超节点:
变为:
此时分析这个超节点，就是列一个基尔霍夫电流定律方程的节点 2 处两个电流和节点 3 处两个电流一起写:
$$
\displaylines{ \frac{v_2 - v_1}{5} + \frac{v_2}{50} + \frac{v_3}{100} - 4 = 0}
$$
但不是说超节点里面的电路就忽略不看了，这个例子中，超节点内部可以得到一个方程:
$$
\displaylines{v_3 = v_2 + 10 i_\phi}
$$
需要 适当使用超节点 , 而不是只要遇到电压源连接两个基本节点就使用.
4.5 网孔电流法
需要应用网孔电流法的网孔数为 含未知电流的支路数 - 节点数 + 1
网孔电流法法是利用 基尔霍夫电压定律 列方程式求解. (因为是用 $ir$ 表示电压, 所以最终表达式中留下的是电流, 就是电流法)
网孔 是一个没有其他贿赂在里面的回路.
网孔电流分析法只能应用于平面电路.
网孔电流是仅存在于网孔周边的电流，支路电流不一定都能表示网孔电流. 准确来说，网孔电流不是真实电流, 是一个假想的量. (毕竟它假设的是一个回路中是同一个电流, 但显然每条支路的电流可能不同)
4.6 网孔电流法和非独立源
同样要加上非独立源的限制方程.
4.7 网孔电流法的特例
每一个电流源，不论是独立还是非独立，都可以求得一个网孔电流的值. 或者得到一个方程式.
如电路中含有电流源，可以得到一个网孔电流之间的方程
$$
\displaylines{i_a - i_c = 5a}
$$
相当于可以少列一个网孔电流方程.
4.7.1 超网孔的概念
避开电流源支路，将电流源从电路中移走.
如将:
转换为超网孔形式:
写方程时并不是将 $i_a$ 和 $i_c$ 合并，在这里，左边还是 $i_a$, 右边还是 $i_c$, 只不过少列一个网孔电流方程而已:
$$
\displaylines{-100 + 3(i_a - i_b) + 2(i_c - i_b) + 50 + 4i_c + 6i_a}
$$
4.9 电源变换
核心理念 与电阻串联的电压源可以用与同样电阻并联的电流源代替.
(电源变换需要保证两端点间的电压电流保持不变)
如图:
其中, 需要满足:
$$
\displaylines{i_s = \frac{v_s}{r}}
$$
推导
假定 $r_l$ 连接在节点 a,b 之间. $i_l$ 是节点 a,b 间的电流:
对于图 (a) 的电压源:
$$
\displaylines{ i_l = \frac{v_s}{r+r_l} }
$$
对于图 (b) 的电流源:
$$
\displaylines{i_l = \frac{v}{r_l} \newline~ \newline
v = \frac{rr_l}{r+r_l}i_s \newline~ \newline
i_l = \frac{1}{r_l} \frac{rr_l}{r+r_l}i_s \newline~ \newline
= \frac{r}{r + r_l} i_s}
$$
要使两个电路等效，即使电源变换成功, 就需要满足 a,b 节点上流过的电流相同的条件，即需要让上述两个方程相等:
$$
\displaylines{\frac{v_s}{r+r_l} = \frac{r}{r + r_l} i_s \newline~ \newline
即 \newline~ \newline
i_s = \frac{v_s}{r}}
$$
因此在电源变换时，两个电源满足这个式子即可.
(到这里, 就证明了电流相等, 同时 $u = ir$, 也就可以得出电压也相等)
在电源变换时，把要变换的部分看成一个回路，而不是有一个开路, 如:
看作:
因此这里 $6 \omega, 4 \omega, 10 \omega$ 的电阻可以看作一个 $20 \omega$ 的电阻.
(用 ltspice 验证可行, 这里注意一点, 不能直接将电路的总电压看作 $32v - 6v$, 最好是简化电路之后再求值, 也可以通过叠加原理计算, 电压源短路, 电流源断路)
注意
这两种电路可以简化:
即，电压源并联了一个电阻, 以及, 电流源串联了一个电阻，对等效电路没有影响. (可以直接去掉)
毕竟，对于两个电压源, 同样只有电阻 r 分去了部分电压:
$$
\displaylines{v_{ab} = v_s - v_r}
$$
对于两个电流源, 同样只有电阻 r 所在的支路分去了部分电流:
$$
\displaylines{i_{ab} = i_s - i_r}
$$
一个示例:
注意，这些电流源和电阻可以直接合并，因为上下两条之路上都没有其他的电压降:
(需灵活运用这些移动技巧)
4.10 戴维南与诺顿等效电路
这两个等效电路用于 需要将注意力集中在一对特殊的端子上 时.
戴维南与诺顿等效电路可以用于 任何 由线性元件组成的电路.
4.10.1 戴维南电路
戴维南电路是把原始电路 (除要研究的端子以外) 等效为 一个独立电压源 $v_{th}$ 和一个电阻 $r_{th}$ 的串联 .
需要求得的量是 $v_{th}$ 和 $r_{th}$
求解步骤
将端子 开路 求 $v_{th}$. (端子两侧的电压就是等效电路的断路电压)
将端子 短路 求 $i_{sc}$ (端子两侧流过的电流就是短路电流)
利用 $v_{th}$ 和 $i_{sc}$ 求 $r_{th}$
4.10.2 诺顿等效电路
诺顿等效电路由 一个独立电流源和诺顿等效电阻并联组成, 可以先利用 电源变换 将诺顿等效电路换成戴维南等效电路.
4.10.3 使用电源变换电路
求戴维南等效电路.
示例:
这道题的关键在于 $i_x$ 的电流一定为零 (缺少返回左边部分电路的路径)
4.11 导出戴维南等效电路的补充
求 $r_{th}$ 并不总是很容易.
求 $r_{th}$ 技巧1 若电路中仅仅包含独立源
先使独立源无效 (电压源无效是将其短路, 电流源无效是将其开路) 然后计算从指定端口看进去的电阻:
如:
变为:
$$
\displaylines{r_{ab} = r_{th} = 4 + \frac{5 \times 20}{25} = 8 \omega}
$$
求 $r_{th}$ 技巧2 若电路中含非独立电源
首先使所有 独立电源无效.
然后在 a,b 端施加一个测试电压源或测试电流源，戴维南电阻等于测试电源上的电压与测试电源释放的电流只比
变为:
求解
测试电压记为 $v_t$, 由它产生的电流记为 $i_t$.
$$
\displaylines{i_t = \frac{i_t}{25} + 20i \newline~ \newline
i = \frac{-3v_t}{2000}A \newline~ \newline
i_t = \frac{v_t}{25} - \frac{60v_t}{2000} \newline~ \newline
\frac{i_t}{v_t} = \frac{1}{25}- \frac{6}{200} = \frac{50}{5000} = \frac{1}{100} \newline~ \newline
r_th = \frac{v_t}{i_t} = 100 \Omega}
$$
4.12 最大功率传输
传输尽可能多的功率到负载是人们所期望的.
认为负载电路总能转换为戴维南电路.
电路如下:
转换为戴维南电路为:
推导:
$$
\displaylines{p = i^2 R_L = ( \frac{v_{Th}}{R_{Th} + R_L} )^2 R_L \newline~ \newline
the\ value\ of\ v_{Th}\ and\ R_{Th}\ will\ not\ change\ , \newline~ \newline
\ so\ the\ power\ is\ a\ function\ of\ R_L\ , \newline~ \newline
\ using\ derivative\ to\ get\ the\ maximum\ value \newline~ \newline
\frac{dp}{dR_L} = v^2_{Th}[ \frac{(R_{Th} + R_L)^2 - R_L \cdot 2(R_{Th} + R_L)}{(R_th + R_L)^4} ] \newline~ \newline
when\ the\ derivative\ equel\ to\ zero\ p\ is\ maximum \newline~ \newline
(R_{Th} + R_L)^2 = 2R_L (R_{Th} + R_L) \newline~ \newline
R_L = R_{Th} \newline~ \newline
\therefore p_{max} = \frac{v^2_{Th} R_L}{(2R_L)^2}= \frac{v^2_{Th}}{4R_L}}
$$
4.13 叠加原理
使用的前提条件: 器件是 线性的 .
如果电路中的独立源是根本不同的，才需要使用叠加原理.
叠加原理就是一个电源一个电源地分析， 分析其中一个时，使其他电源无效 (但是，非独立源从不无效).
如这个电路, 有两个独立源, 需要求 $i_1 \sim i_4$ 的值:
先用电压源无效就使其短路，电流源无效就使其开路的方式，先分析电压源，则开路电流源:
可以求得 $i^\prime_1 \sim i^\prime_4$.
再分析电流源，需要将电压源短路:
可以求得 $i_1^{\prime \prime} \sim i_4^{\prime \prime}$.
则求原电路的支路电流，将两次分析的相加即可:
$$
\displaylines{i_1 = i_1^{\prime} + i_1^{\prime \prime} \newline~ \newline
i_2 = i_2^{\prime} + i_2^{\prime \prime} \newline~ \newline
i_3 = i_3^{\prime} + i_3^{\prime \prime} \newline~ \newline
i_4 = i_4^{\prime} + i_4^{\prime \prime} \newline~ \newline}
$$
非独立电压源的内阻似乎也是无穷大
第5章 运算放大器
运算放大器可简称为 运放 .
(这里内部讲得不太多, 主要需要记住特性)
放大器是将什么放大了?
放大的是正相输入和反相输入的差值. 即 $a(v_p - v_n)$ (虽然将这两端的电流电压视为零)
5.1 运算放大器端子
美国仙童半导体公司推出的一种被广泛接受的运放: $\mu a741$
若是 8 引脚双列直插式 (double in-line pin, dip)
示意图:
nc (non-connection) 表示没有连接，是一个不用的端子.
主要关心的引脚包括:
- 反相输入
- 同相输入
- 输出
- 正电源 ( $v^+$ )
- 负电源 ( $v^-$ )
电路符号:
5.2 端电压和端电流
三个特点:
- 输出电压不大于电压源电压
- 正相/反相输入端电压为零
- 正相/反相输入端电流为零
一般示意图为:
所有电流的参考方向是进入运算方法器的端子. (一般情况下, 电流方向为从电势高向电势低的方向)
电压约束
输出电压满足的曲线 (这里应该是, 输出电压可以是多少的曲线):
可以看出, 输出电压最大不会超过正电源电压，最小电源不会超过负电源电压，中间为线性增长. 且输出电压为 $A(v_p-v_n)$, 即两输入电压之差乘以一个常数, 即 增益 A .
描述方程为, 这里的 $v_p$ 是正相输入， $v_n$ 是反相输入:
$$
\displaylines{v_0 =
\begin{cases}
-v_{cc}, \ \ A(v_p-v_n) < -v_{cc} \newline~ \newline
A(v_p - v_n), \ \ -v_{cc} \le a(v_p-v_n) \le +v_cc \newline~ \newline
+v_{cc}, \ \ A(v_p-v_n) > +v_{cc}
\end{cases}}
$$
对于多数运放, 推荐的直流电源电压 超过 20v , 增益 A 很少 低于 10000 (理想的运放 A 值无穷大). 这意味着 $A(v_p-v_n) < 20v$, 即:
$$
\displaylines{v_p - v_n < \frac{20}{20000} = 2mv}
$$
因此，两个电压基本相等:
$$
\displaylines{v_p = v_n}
$$
电流约束
从运放输入端看进去的等效电阻非常大, 典型值为 $1M\Omega$ 或更大，理想情况下为无穷大, 因此:
$$
\displaylines{i_p = i_n = 0 \newline~ \newline
\because 基尔霍夫电流定律 \newline~ \newline
i_p + i_n + i_o + i_{c+} + i_{c-} = 0 \newline~ \newline
i_o = -{i_{c+} + i_{c-}}}
$$
可知， $i_p = i_n = 0$ 但不代表输出电流 $i_o$ 等于 0.
负反馈的作用
如果运放受到电路限制，不能提供一条反馈路径从运放的输出到反相输入端，那么运放通常会饱和.
虽然具体动机不是很懂, 但是加上负反馈后, 输出电压就能和输入电压成比例, 就能够控制增益. ($v_p$ 似乎始终等于 $v_n$)
注意 , 负反馈电路一直连在 反相输入端口
5.3 反相放大器电路
名称缘由: 输出电压的值和反相输入端的电压相关, 和正相输入端的电压无关. (这个名字且暗示了输入电压的位置, 这里在反相输入端的支路)
闭环状态
特点 (前两点也反映了名字的由来):
- 输入电压接反相输入端口.
- 输出电压和输入电压 (不是电源电压) 符号相反. 且有关系式为:
$$
\displaylines{ \frac{v_o}{v_s} = - \frac{R_f}{R_s} }
$$ - 增益为:
$$
\displaylines{ \frac{R_f}{R_s} }
$$
推导
首先需要知道, 假设反相输入外的那个节点电势为零. (为什么为零不清楚)
$$
\displaylines{i_s + i_f = i_n \newline~ \newline
i_n = 0 \newline~ \newline
i_s = \frac{v_s}{R_s} \newline~ \newline
i_f = \frac{v_0}{R_f} \newline~ \newline
\frac{v_s}{R_s} + \frac{v_0}{R_f} = 0 \newline~ \newline
\frac{v_0}{v_s} = - \frac{R_f}{R_s}}
$$
关于为什么 $i_f = \frac{v_0}{R_f}$ , 看这里:
反相放大器开环状态
特点:
- $v_0 = -A(v_p - v_n) = - Av_n, \ \ v_p = 0,\ \ v_n \approx v_s$
- $\left\vert v_s \right\vert < \frac{V_cc}{A}$
因为反相输入电流几乎为零， $R$ 上的压降也为 0.
此时的 A 称为开环增益.
5.4 求和放大电路
特点:
- 求和放大电路的输出电压是 反相的.
- 当 $R_f = R_a = R_b = R_c$ 时，输出电压是输入电压之和
图像:
注意这里标识的 $v_n$ 是反相输入端的电压，正相输入端为 0 . 因此利用基尔霍夫电流定律:
$$
\displaylines{ \frac{v_n - v_a}{R_a} + \frac{v_n - v_b}{R_b} + \frac{v_n - v_c}{R_c} + \frac{v_n - v_0}{R_f} + i_n = 0\newline~ \newline
(由于 v_p 接地, v_n = v_p = 0) \newline~ \newline
v_0 = - ( \frac{R_f}{R_a}v_a + \frac{R_f}{R_b}v_n + \frac{R_f}{R_c}v_c )}
$$
如 $v_n - v_a$ 就是 $R_a$ 所在支路在 $R_a$ 上的压降.
若 $R_f = R_a = R_b = R_c$, 则：
$$
\displaylines{v_0 = -(v_a + v_b + v_c)}
$$
关于为什么会有 $v_n - v_a$ 的解释
原本这个式子该写为:
$$
\displaylines{-\frac{v_a - v_n}{R_a} - \frac{v_b - v_n}{R_b} - \frac{v_c - v_n}{R_c} - \frac{v_0 - v_n}{R_f} + i_n = 0 \newline~ \newline
(因为这里是电流流入的方向, 此处规定为负)}
$$
而 $v_n$ 其实表示的是这个点的电势:
因此, 电流大小为 $I = \frac{V}{R}$ 这里的 $V$ 为电势差, 因此两点的电势差为 $v_a - v_n$. 就有了:
$$
\displaylines{I_a = - \frac{v_a - v_n }{R}}
$$
5.5 同相放大器电路
特点:
- 输入电压在同相输入端，输出电压与输入电压符号相同
图像:
说是形成了一个空载分压器, 不是很懂, 可能为, 反相输入点电阻无穷大, 电流不会从哪里流过, 因此全都往另一侧流动.
就有:
$$
\displaylines{ v_p = v_n \newline~ \newline
v_n = v_g = \frac{v_0 R_s}{R_s + R_f} \newline~ \newline
v_o = \frac{R_s + R_f}{R_s} v_g}
$$
此时的增益为:
$$
\displaylines{ \frac{R_s + R_f}{R_s} }
$$
因此满足:
$$
\displaylines{ \left\vert \frac{R_s + R_f}{R_s} v_g < V_{CC} \right\vert }
$$
5.6 差分放大器
特点:
- 正相和反相输入端都有输入电压
- 输出电压与两个输入电压的差成比例
图像:
对离开反相输入节点的电流应用基尔霍夫定律电流定律:
$$
\displaylines{ \frac{v_n - v_a}{R_a} + \frac{v_n - v_o}{R_b} + i_n = 0 \newline~ \newline
i_n = i_p = 0 \newline~ \newline
v_n = v_p = \frac{R_d}{R_c + R_d}v_b \newline~ \newline
v_o = \frac{R_d(R_a + R_b)}{R_a (R_c + R_d)} v_b - \frac{R_b}{R_a} v_a \newline~ \newline
when\ \ \newline~ \newline
\frac{R_a}{R_b} = \frac{R_c}{R_d} \newline~ \newline
v_o = \frac{R_b}{R_a} (v_b -v_a)}
$$
5.6.1 关于差分放大器的其他问题
差模输入, 即两个输入电压之间的差 :
$$
\displaylines{v_{dm} = v_b - v_a}
$$
共模输入, 即两个输入电压的平均值:
$$
\displaylines{v_{cm} = \frac{v_a + v_b}{2}}
$$
用差模电压和共模电压 $v_{dm}\ 和\ v_{cm}$ 表示原始输入电压 $v_a$ 和 $v_b$, 有:
$$
\displaylines{v_a = v_{cm} - \frac{1}{2} v_{dm} \newline~ \newline
$v_b = v_{cm} + \frac{1}{2} v_{dm}}
$$
带回:
$$
\displaylines{v_o = \frac{R_d(R_a + R_b)}{R_a (R_c + R_d)} v_b - \frac{R_b}{R_a} v_a}
$$
最终化简得:
$$
\displaylines{v_o = A_{cm} v_{cm} + A_{dm} v_{dm}}
$$
(其实 $A_{cm}$ 和 $A_{dm}$ 写出来一长串)
其中 $A_{cm}$ 是共模增益, $A_{dm}$ 是差模增益.
当 $R_c = R_1\ 以及\ R_d = R_b$ 时, 同时 $\frac{R_a}{R_b} = \frac{R_c}{R_d}$ 时, 有:
$$
\displaylines{v_o = (0)v_{cm} + ( \frac{R_b}{R_a}) v_{dm}}
$$
因此, 理想的差分放大器有 $A_{cm} = 0$, 该放大器只放大输入电压的差模部分, 消除了输入电压的共模部分.
用差模和共模输入电压表示的差分放大器为:
应用
可以将差模信号视为有用的信息, 共模信号视为电子信息中产生的噪音, 因此, 一个理想的差分放大器将只放大关心的电压并抑制噪声.
5.6.2 衡量差分放大器的共模抑制比
这两小节见书，不是很明白.
5.7 实际的运算放大器模型
图像:
几处不同:
- 有限的输入电阻 $R_i$
- 有限的开环增益 A
- 非零的输出电阻 $R_o$
意味着几个假设不成立:
- $v_n = v_p$
- $i_n = i_p = 0$
可以看到，内部有一个 非独立源 , 模拟的就是放大后的电压, 有电阻 $R_o$ 意味着输出的电压会被 $R_o$ 分压.
要使放大器理想化, 需要:
- $R_i \rightarrow \infty$
- $A \rightarrow \infty$
- $R_o \rightarrow \infty$
5.7.1 用实际的运放模型分析反相放大器电路
图像为:
利用基尔霍夫电流定律得到两个方程:
$$
\displaylines{节点a: \ \frac{v_n - v_s}{R_s} + \frac{v_n }{R_i} + \frac{v_n - v_o}{R_f} = 0 \newline~ \newline
节点b: \ \frac{v_o - v_n}{R_f} + \frac{v_o - A(-v_n)}{R_o} = 0}
$$
解出的方程有点复杂:
5.7.2 用实际的运放模型分析同相放大器电路
图像为:
具体方程就见书。
第6章 电感, 电容和互感
基本概念:
电感 是一种抵抗电流变化的电子元件. 它由环绕在磁性或非磁性材料支柱心上的线圈组成。 电感的特性基于磁场的现象, 磁场的源是运动中的电荷.
电容 是一种电子元件, 它是由绝缘体或电介质材料隔离的两个导体组成. 电容只是一个器件，不是可存储电荷的电池。 电容的特性是基于电场的现象 , 电场的源是电荷的分离，即电压. 时变的电场在该空间产生位移电流. 位移电流等于电容两端的传导电流 (因为电容两端电荷量在变化，就好像有电流流过).
能量可以被存储在磁场中和电场中. , 因此电感和电容也能够存储能量.
对于理想的电感和电容，存储多少能量就释放多少能量，由于电感和电容并不能产生能量, 因此均为无源元件.
注意, 电感和电容不能产生和消耗能量.
6.1 电感
重要公式:
- $v = L \frac{di}{dt}$
- $i(t) = \frac{1}{L} \int_{t_0}^t v dt + i(t_0)$
- $w = \frac{1}{2} L I^2$
电感求能量用 $i$
符号: $L$
单位: $H$
图形符号: 
公式:
$$
\displaylines{v = L \frac{di}{dt}}
$$
注意两点:
- 如果电流是常数，通过理想电感的电压为零 (毕竟 $\frac{di}{dt} = 0$)
- 电感中的电流不能跃变，也就是电流在零时间不能变化一个有限量 (不然就是 $\frac{di}{0} = \infty$, 电压无穷大)
6.1.1 用电感上的电压表示电感中的电流
推导
$$
\displaylines{\because v = L \frac{di}{dt} \newline~ \newline
v dt = L (\frac{di}{dt}) dt \newline~ \newline
v dt = L di \newline~ \newline
L \int_{i(t_0)}^{i(t)} = \int_{t_0}^t v d t \newline~ \newline
i(t) = \frac{1}{L} \int_{t_0}^t v dt + i(t_0)}
$$
其中， $i(t)$ 指时间为 t 时的电流. $i(t_0)$ 指开始积分时的电流，一般情况下， $t_0$ 为零.
6.1.2 电感中的功率和能量
电感中功率和能量关系推导
$$
\displaylines{p = vi \newline~ \newline
p = Li \frac{di}{dt} \newline~ \newline
p = \frac{dw}{dt} = Li \frac{di}{dt} \newline~ \newline
dw = Li di \newline~ \newline
\int_0^w dx = L \int_0^i y dy \newline~ \newline
w = \frac{1}{2} L i^2}
$$
6.2 电容
重要公式:
- $i = \frac{dQ}{dt} = C \frac{dv}{dt}\ (Q = CU)$
- $v(t) = \frac{1}{C} \int_{t_0}^t i dt + v(t_0)$
- $w = \frac{1}{2}C v^2$
电容求能量用 $v$
字母: $C$
单位: 法拉 ( $F$ )
图形符号: 
因为电容中是电介质或绝缘材料，因此 电荷并不穿过电容. 电容两端的电压不能将一个穿过这个绝缘体，但可以在绝缘体中 位移一个电荷. ( 位移不是指电荷移动了，而是一个极板上的电荷增加 )
计算位移电流
$$
\displaylines{i = C \frac{dv}{dt}}
$$
两个要点:
- 电容两端的电压不能跃变
- 如果电压为常量，电容的电流为零
电容电流作为电容电压的函数, 推导
$$
\displaylines{ i = C \frac{dv}{dt} \newline~ \newline
i dt = C ( \frac{dv}{dt} )dt \newline~ \newline
i dt = C dv \newline~ \newline
\int_{t_0}^t i dt = C v(t) \newline~ \newline
v(t) = \frac{1}{C} \int_{t_0}^t i dt + v(t_0)}
$$
电容的功率和能量关系, 推导
$$
\displaylines{p = vi = Cv \frac{dv}{dt} \newline~ \newline
p = \frac{dw}{dt} \newline~ \newline
dw = Cvdv \newline~ \newline
\int_0^w dx = C \int_0^v y dy \newline~ \newline
w = \frac{1}{2}C v^2}
$$
6.3 电感和电容的串并联
电阻的串并联可以简化为单个等效电阻，电感或电容的串并联也可以简化为单个电感或电容.
电感串联公式推导
由于流过串联的电感的电流相同:
$$
\displaylines{v_1 = L_1 \frac{di}{dt}, \ \ v_2 = L_2 \frac{di}{dt}, \ \ v_3 = L_3 \frac{di}{dt} \newline~ \newline
v = v_1 + v_2 + v_3 = (L_1 + L_2 + L_3) \frac{di}{dt}}
$$
可以看出 串联连接的等效电感是每个电感值的总和 (从本质上来看，就像是线圈数增加了，磁通量就增大)
电感并联公式推导
并联电路的总电流是各支路电流之和.
$$
\displaylines{i_1 = \frac{1}{L_1} \int_{t_0}^t vdt + i_1(t_0) \newline~ \newline
i_2 = \frac{1}{L_2} \int_{t_0}^t vdt + i_2(t_0) \newline~ \newline
i_3 = \frac{1}{L_3} \int_{t_0}^t vdt + i_3(t_0) \newline~ \newline
i = i_1 + i_2 + i_3 \newline~ \newline
i = ( \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3}) \int_{t_0}^t vdt + i_1(t_0)+ i_2(t_0)+ i_3(t_0) \newline~ \newline
i = \frac{1}{L_{eq}}\int_{t_0}^t vdt + i_1(t_0) \newline~ \newline
\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3} \newline~ \newline
i(t_0) = i_1(t_0)+ i_2(t_0)+ i_3(t_0)}
$$
电容串联公式
推导方式和电感相同. 结果相反.
$$
\displaylines{ \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + … + \frac{1}{C_{n}} \newline~ \newline
v(t0) = v_1(t_0) + v_2(t_0) + … + v_n(t_0)}
$$
电容并联公式推导
$$
\displaylines{ C_{eq} = C_1 + C_2 + … + C_n }
$$
6.4 互感
由磁场连接的两个电路, 第二个电路所感应的电压与第一个电路中的时变电流 (随时间变化的电流) 有关, 称之为 互感.
图像如下:
这里的 $M$ 不仅表示互感为 $M$, 且表示这里的两个电路由磁场连接, 有这个装置:
点约定: 当电流的参考方向是进入线圈打点端时，则另一线圈感应的电压其参考极性在打点端为正.
点约定用来追踪极性，也就是判断电流进入的方向. (感觉可以直接用右手定则判断)
6.5 更详细地讨论互感
6.5.1 复习自感
法拉第假设磁场是由围绕通电导线的 磁力线 构成的.
可将磁力线想象为相互接近的，储能的弹性带.
感应在导线中的电压与切割导线的磁力线数成比例, 这个感应电压可以由 法拉第定律 来表示:
$$
\displaylines{v = \frac{d \lambda}{dt}}
$$
(不是很明白这个公式, 硬要分析, 这里就是磁链数的变化率就是感应电压)
$\lambda$ 被称为磁链, 单位为 $Wb$.
$N$ 为线圈匝数， $\phi$ 为磁通量:
$$
\displaylines{\lambda = N \phi}
$$
(这里可以看出, 虽然 $p\phi$ 本身就和线圈数有关, $\lambda$ 还是和线圈数量成正比)
磁通量 $\phi$ 又与线圈电流大小有关:
$$
\displaylines{\phi = \mathcal{P}Ni}
$$
$\mathcal{P}$ 表示磁通所占据空间的磁导 (磁导是一个描述这个空间磁特性的量, 当磁性材料构成含有磁通的空间时, 磁导随磁通而变化, 此时 $\phi$ 和 $i$ 是非线性关系, 如果含有磁通的空间是由非磁性材料构成的, 则磁导是常量, 此时 $\phi$ 和 $i$ 是线性关系. 具体细节似乎不用了解)
6.5.2 互感的概念
(只要记住互感和自感都和磁导和线圈数有关)
似乎有两个重要的公式 (应该都是推导出来的):
- $L = N^2_1 \mathcal{P}$
- $M_{21} = N_2 N_1 \mathcal{P_{21}}$
(实际上, 对于非磁性材料, 磁导 $\mathcal{P_{12}}$ 和 $\mathcal{P_{21}}$ 是相等的, 因此 $M_{12} = M_{21} = M$)
$$
\displaylines{v_2 = M_{21} \frac{di_1}{dt}}
$$
其中, $M$ 的下标表示该感应使线圈 1 中的电流与线圈 2 中感应的电压有关.
其中:
$$
\displaylines{\phi_1 = \phi_{11} + \phi_{21} \newline~ \newline
\mathcal{P_1} = \mathcal{P_{11}} + \mathcal{P_{21}}
}
$$
磁通下标第一个数字为线圈号, 第二个数字表示线圈电流.
一个电路中所感应的电压与另一个电路中的时变电流建立联系:
$$
\displaylines{v_1 = L_1 \frac{di_1}{dt} + M_{12} \frac{di_2}{dt} \newline~ \newline
v_2 = M_{21} \frac{di_1}{dt} + L_2 \frac{di_2}{dt}}
$$
( 疑惑, 电压变化引起电流变化引起变化率改变 )
6.5.3 用自感表示互感
互感的值是自感的函数:
$$
\displaylines{\because L_1 = N^2_1 \mathcal{P_1} \newline~ \newline
\because L_2 = N^2_2 \mathcal{P_2} \newline~ \newline
\therefore L_1 L_2 = N^2_1 N^2_2 \mathcal{P_1} \mathcal{P_2} \newline~ \newline
= N^2_1 N^2_2(\mathcal{P_{11}} + \mathcal{P_{21}})(\mathcal{P_{22}} + \mathcal{P_{12}})
}
$$
对于线性系统, $\mathcal{P_{21}} = \mathcal{P_{12}}$:
$$
\displaylines{L_1 L_2 = (N_1N_2 \mathcal{P_{12}})^2(1 + \frac{\mathcal{P_{11}}}{\mathcal{P_{12}}})(1 + \frac{\mathcal{P_{22}}}{\mathcal{P_{12}}}) = M^2(1 + \frac{\mathcal{P_{11}}}{\mathcal{P_{12}}})(1 + \frac{\mathcal{P_{22}}}{\mathcal{P_{12}}}) }
$$
用单个常量代替含磁导的两项 (这里 $k$ 称为 耦合系数, 且 $0 \le k \le 1$ ):
$$
\displaylines{ \frac{1}{k^2} = (1 + \frac{\mathcal{P_{11}}}{\mathcal{P_{12}}})(1 + \frac{\mathcal{P_{22}}}{\mathcal{P_{12}}})}
$$
因此:
$$
\displaylines{M^2 = k^2 L_1 L_2}
$$
如果线圈间无磁通交链, 则 $M = 0$.
当两个线圈无公共磁通, 即 $\phi_{12} = \phi_{21} = 0$ 时, 耦合系数为 0.
$\phi_{11} = \phi_{22} = 0$ 时, 耦合系数为 1.
$\mathcal{P_{11}} = \mathcal{P_{22}} = 0$ 表示的是一种理想状态, 实际上, 按自然法则不太可能.
6.5.4 能量计算
推导存储在一对线性耦合线圈磁场中的总能量表达式.
已知条件:
- $M_{12} = M_{21} = M$
- $M = k \sqrt{L_1 L_2},\ 0 \le k \le 1$
推导
先假设电流 $i_1$ 和 $i_2$ 都为 0, 在线圈中零电流状态对应零能量存储.
先使 $i_1$ 从 0 增加到某任意值 $I_1$ 并计算当 $i_1 = I_1$ 时所存储的能量, 由于保持 $i_1$ 为常量时, $i_2 = 0$, 因此第二个线圈此时没有存储能量, 此时这对线圈存储的能量为:
$$
\displaylines{\int_0^{W_1} dw = L_1 \int_0^{I_1} i_1 di_1 \newline~ \newline
W_1 = \frac{1}{2}L_1 I_1^2
}
$$
$i_1$ 保持常量 $I_1$ 一段时间后, 将 $i_2$ 从零增加到某任意值 $I_2$, $i_2$ 在线圈 1 中感应的电压为 $M_{12} \frac{di_2}{dt}$, 因此, 进入到一对线圈的功率为:
$$
\displaylines{p = I_1 M_{12} \frac{di_2}{dt} + i_2v_2}
$$
当 $i_2 = I_2$ 时, 存储在一对线圈中的总能量为:
$$
\displaylines{\int_{W_1}^{W}= \int_{0}^{I_2} + \int_0^{I_2} L_2i_2di_2 \newline~ \newline
W = W_1 + I_1I_2M_{12} + \frac{1}{2}L_2 I_2^2 = \frac{1}{2}L_1 I_1^2 + \frac{1}{2}L_2 I_2^2 + I_1 I_2 M_{12}
}
$$
结论:
若先将 $i_1$ 从零增至 $I_1$, 然后将$i_2$ 从零增至 $I_2$, 则所存储的总能量为:
$$
\displaylines{W = \frac{1}{2}L_1 I_1^2 + \frac{1}{2}L_2 I_2^2 + I_1 I_2 M_{12} }
$$
若先将 $i_2$ 从零增至 $I_2$, 然后将$i_1$ 从零增至 $I_1$, 则所存储的总能量为:
$$
\displaylines{W = \frac{1}{2}L_1 I_1^2 + \frac{1}{2}L_2 I_2^2 + I_1 I_2 M_{12} }
$$
若是线性耦合, 则建立顺序无所谓. 此时无论电流是如何达到最终值, 产生的磁通仅取决于 $i_1$ 和 $i_2$ 的最终值.
在任意时间, 存储在线圈中的总能量是 :
$$
\displaylines{w(t) = \frac{1}{2}L_1 i_1^2 + \frac{1}{2}L_2 i_2^2 + M i_1 i_2 }
$$
注意 , 如果一个电流进入一个极性标记端, 而另一个电流离开这一端, 乘积 $Mi_1i_2$ 的代数符号相反, 因此通常:
$$
\displaylines{w(t) = \frac{1}{2}L_1 i_1^2 + \frac{1}{2}L_2 i_2^2 \pm M i_1 i_2}
$$
此时可以推导出一个结论:
$$
\displaylines{M = k \sqrt{L_1 L_2},\ (0 \le k \le 1)}
$$
即, $M$ 的大小不会超过 $\sqrt{L_1 L_2}$
第7章 一阶 RL 和 RC 电路的响应
$RL$ 电路就是有电阻 $R$ 和电感 $L$ 的电路.
同理, $RC$ 电路就是有电阻 $R$ 和电容 $C$ 的电路.
考虑存储在电感或电容中的能量突然释放到电阻网络时产生的电流和电压, 发生在电感或电容突然与直流电源断开, 电路结构如:
(这里可以看出是简化的电路)
这种结构中产生的电流和电压称为电路的固有响应 (因为不受外部电源的作用, 取决于电路本身固有的状态, 英文为 intrinsic response, intrinsic 有内部的, 本质的, 意思), 固有响应就是电容或电感 放电的过程
直流电压或电流源突然加到一个电感或电容上, 使其获得能量而产生的电流和电压, 这种响应称为 阶跃响应 (step response)
一般 $RL$ 和 $RC$ 电路结构的四种可能形式:
(这里也可以认为是, 求解阶跃响应和固有响应之前先将电路简化为戴维南或诺顿电路, 因为后续的公式也是基于这些电路结构来推导的)
由于电压和电流由一阶微分方程式表示, $RL$ 和 $RC$ 电路也称 一阶电路
(不论出现如何复杂的电路形式, 如果可将它简化成戴维南或诺顿等效电路连接到一个等效电感或电筒两端, 就是一个 一阶电路 )
阶跃响应就是电容或电感 充电的过程
7.1 RL 电路的固有响应
计算归纳 (看了后面的内容又写在前面的):
- 求电感的初始电流 $I_0$
- 求电路的时间常数 $\tau = L/R$
- 使用 $i(t) = I_0 e^{-t/\tau}$, 根据 $I_0$ 和 $\tau$, 求 $i(t)$
一个例子:
电路中, 开关被打开之前, 电路中有恒定电流存在, 因此电感在释放所存储的能量之前表现为短路 ( $L \frac{di}{dt} = 0$)
此求解固有响应时, 需要在开关已经打开之后 求解电阻端的电压和电流.
后面有通用解法, 结果为:
$$
\displaylines{\therefore x(t) = x_f + [x(t_0) - x_f] e^{-(t-t_0)/\tau}
}
$$
(先留个印象)
7.1.1 推导电流表达式
主要需要得到 电流随时间变化的表达式 , 即 $i(t)$. (求解响应就是求解响应过程中的电流和电压的表达式)
推导
利用基尔霍夫电压定律, 得到:
$$
\displaylines{L \frac{di}{dt} + Ri = 0}
$$
已知 $R$ 和 $L$ 是常量, 因此:
$$
\displaylines{L \frac{di}{dt} + Ri = 0 \newline~ \newline
\frac{di}{dt} dt = - \frac{R}{L} i dt \newline~ \newline
\frac{di}{i} = - \frac{R}{L} dt \newline~ \newline
\int_{i(t_0)}^{i(t)} \frac{dx}{x} = - \frac{R}{L} \int_{t_0}^{t} dy \newline~ \newline
\ln \frac{i(t)}{i(0)} = - \frac{R}{L}t \newline~ \newline
i(t) = i(0) e^{-(R/L)t}, \ \ t \ge 0 \newline~ \newline
v = iR =I_0 R e^{-(R/L)t}, \ \ t \ge 0^{+}
}
$$
可以看出, 从初始电流 $I_0$ 开始, 随着 $t$ 的增加, 按指数规律减少趋于 0.
有:
- $v(0^{-}) = 0$
- $v(0^{+}) = I_0 R$
得出电阻中的功率损耗
通过:
$$
\displaylines{p = vi,\ \ p = i^2R, \ \ p = \frac{v^2}{R}}
$$
之一, 都可得到:
$$
\displaylines{p = I_0^2 R e^{-2(R/L)t}, \ \ t \ge 0^{+}}
$$
开关打开后, 释放到电阻的能量
$$
\displaylines{w = \int_0^t pdx}
$$
来推导, 最后得到 结论, 当 $t$ 变成无穷大时, 消耗在电阻中的能量逼近存储在电感中的初始能量.
7.1.2 时间常数的意义
时间常数, 即 $i(t)$ 表达式中 ( $e^{-(R/L)t}$ 项 ), 时间 $t$ 的系数 (即 $R/L$) 的倒数:
$$
\displaylines{\tau =\ 时间常数\ = L/R}
$$
(毕竟 $L$ 和 $R$ 本来就是常数, 将两个常数整合到一起)
一组公式:
$$
\displaylines{i(t) = I_0 e^{-t/\tau},\ \ t \ge 0 \newline~ \newline
v(t) = I_0 Re^{-t/\tau},\ t \ge 0^{+} \newline~ \newline
p = I_0^2 R e^{-2t/\tau}, \ t \ge 0^{+} \newline~ \newline
w = \frac{1}{2}L I_0^2 (1 - e^{-2t/\tau}),\ t \ge 0 }
$$
(感觉做功的公式同样需要直接记住, 很多题都要求计算)
在断开电压源/电流源后 5 个时间常数后, 大部分的实际效果是, 电流和电压已经达到终值:
任何一阶电路都具有时间常数特性.
时间常数另一个重要特性: 如果电流以初始速率变化, 时间常数则给出了电流达到最终值所需的时间. (注意这里的条件是, 以初始速率变化)
示例:
假设电流连续以以下速率变化:
$$
\displaylines{ I_0 R = L \frac{di}{dt} \newline~ \newline
\frac{di}{dt}(0^{+}) = - \frac{R}{L}I_0 = - \frac{I_0}{\tau}}
$$
如果 $i$ 的初值为 $I_0$, 则 $i$ 的表达式变成:
$$
\displaylines{i = I_0 - \frac{I_0}{\tau}t}
$$
就可以看出, 时间为 $\tau$ 时 $i$ 变为零.
可以通过与时间轴的交点求 $\tau$ 的值:
由于电流不会跃变, 因此断开电源之前的电流就是响应的初始电流.
求消耗的总能量 , 用积分到 $\infty$ , 如:
$$
\displaylines{w(t) = \int_0^\infty 2560e ^{-10t}dt = 256J}
$$
求初始能量 , 如:
$$
\displaylines{w(0) = \frac{1}{2}L i^2 (0) = \frac{1}{2} \times (2) \times (400) = 400J}
$$
求存储在并联电感中的初始能量 , 别用等效电感求, 分开求.
7.2 RC 电路的固有响应
RC 电路的固有响应类似于 RL 电路的响应.
RC 电路的固有响应是从下图电路发展而来, 且电容两端的电压无跃变 (意思是释放时, 初始电压为稳态时的电压):
7.2.1 推导电压表达式
公式为 (后续推导):
$$
\displaylines{v(t) = V_0 e^{-t/\tau}, \ \ t \ge 0}
$$
$$
\displaylines{i(t) = \frac{v(t)}{R} = \frac{V_0}{R}e^{-t/\tau}, \ \ t \ge 0^{+} \newline~ \newline
p = vi = \frac{V_0^2}{R}e^{-2t/\tau}, \ \ t \ge 0^{+} \newline~ \newline
w = \int_0^t p dx = \int_0^t \frac{V_0^2}{R} e^{-2x/\tau} dx = \frac{1}{2}C V_0^2(1 - e^{-2t/\tau}), \ \ t \ge 0
}
$$
(可以看出形式和 RL 电路一样, 只需要记住这里的时间常数的含义不同)
通过, 节点电压法:
$$
\displaylines{C \frac{dv}{dt} + \frac{v}{R} = 0}
$$
(为什么有 $C \frac{dv}{dt}$, 这里应该是位移电流, 即电容上电荷变化引发的, 求电流, 可以用 $I = \frac{dq}{dt}$, 求电荷, 用 $C = \frac{Q}{U}, \ \ Q = CU$, 最终得到上述式子)
推导
$$
\displaylines{ \frac{dv}{dt} = - \frac{v}{RC} \newline~ \newline
\frac{dv}{v} = - \frac{dt}{RC} \newline~ \newline
\int \frac{1}{v} dv = - \frac{1}{RC} \int dt \newline~ \newline
\ln v = -\frac{1}{RC}t \newline~ \newline
v(t) = v(0)e^{-t/RC},\ \ t \ge 0
}
$$
这里, 电容上的初始电压为:
$$
\displaylines{v(0^{-}) = v(0) = v(0^{+}) = V_g = V_0}
$$
RC 电路的时间常数为:
$$
\displaylines{\tau = RC}
$$
最终公式为:
$$
\displaylines{v(t) = V_0 e^{-t/\tau}, \ \ t \ge 0}
$$
同样, 给出 $i,\ p, \ w$ 的表达式:
$$
\displaylines{i(t) = \frac{v(t)}{R} = \frac{V_0}{R}e^{-t/\tau}, \ \ t \ge 0^{+} \newline~ \newline
p = vi = \frac{V_0^2}{R}e^{-2t/\tau}, \ \ t \ge 0^{+} \newline~ \newline
w = \int_0^t p dx = \int_0^t \frac{V_0^2}{R} e^{-2x/\tau} dx = \frac{1}{2}C V_0^2(1 - e^{-2t/\tau}), \ \ t \ge 0
}
$$
计算 RC 电路的固有响应归纳:
- 求电容的初始电压 $V_0$
- 求电路的时间常数 $\tau = RC$
- 使用 $v(t) = V_0 e^{-t/\tau}$, 根据 $V_0$ 和 $\tau$ 求 $v(t)$
例题
这种题求 $v_1(t)$ 和 $v_2(t)$ 时需要先求出, $v(t)$ 和 $i(t)$, 再利用 $v = \frac{1}{C} \int_{t_0}^t i dx + V(0)$ 求得. (这道题不能直接求的原因可能是, 比如单独求 $C_1$, 此时的模型不是戴维南电路, 毕竟还有一个电源)
7.3 RL 和 RC 电路的阶跃响应
一个恒定电压源和电流源突然作用于一个电路, 其响应称为电路的阶跃响应.
7.3.1 RL 电路的阶跃响应
利用:
以及基尔霍夫定律电压定律来推导.
推导如下:
$$
\displaylines{V_s = Ri + L \frac{di}{dt} \newline~ \newline
\frac{di}{dt} = \frac{-Ri + V_s}{L} = \frac{-R}{L}(i- \frac{V_s}{R}) \newline~ \newline
\frac{di}{dt}dt =\frac{-Ri + V_s}{L} = \frac{-R}{L}(i- \frac{V_s}{R})dt \newline~ \newline
di = \frac{-Ri + V_s}{L} = \frac{-R}{L}(i- \frac{V_s}{R})dt \newline~ \newline
\frac{di}{i- \frac{V_s}{R}} = \frac{-R}{L}dt \newline~ \newline
\int_{I_0}^{i(t)}\frac{di}{i- \frac{V_s}{R}} = \frac{-R}{L}\int_0^t dy \newline~ \newline
\ln \frac{i(t) - (V_s/R)}{I_0 - (V_s/R)} = - \frac{R}{L}t \newline~ \newline
\therefore i(t) = \frac{V_s}{R} + (I_0 - \frac{V_s}{R})e^{(-R/L)t} \newline~ \newline
= \frac{V_s}{R} - \frac{V_s}{R} e^{-(R/L)t}, \ \ when\ I_0 = 0
}
$$
时间常数 同样是 $\frac{L}{R}$, 开关关闭后的一个时间常数, 电流将大约达到其最终值的 63%:
$$
\displaylines{i(\tau) = \frac{V_s}{R} - \frac{V_s}{R} e^{-1} \approx 0.6321\frac{V_s}{R} }
$$
通过欧姆定律可以得出, 开关关闭瞬间, 电感上的电压为 (利用 $v = L \frac{di}{dt} $求得):
$$
\displaylines{v = -R (\frac{V_s}{R} + (I_0 - \frac{V_s}{R})e^{(-R/L)t}) = (V_s - I_0 R)e^{-(R/L)t}}
$$
即 $V_s - I_0R$. 然后按指数规律衰减到零.
7.3.2 RC 电路的阶跃响应
利用:
和基尔霍夫电流定律:
$$
\displaylines{C \frac{dv_C}{dt} + \frac{V_C}{R} = I_s \newline~ \newline
\frac{dv_C}{dt} + \frac{v_C}{RC} = \frac{I_s}{C}}
$$
最终可以推导出:
$$
\displaylines{v_c = I_sR + (V_0 - I_sR)e^{-t/RC}, \ \ t \ge 0}
$$
或从:
$$
\displaylines{ \frac{di}{dt} + \frac{1}{RC}i = 0 }
$$
可以推导出:
$$
\displaylines{i = (I_s - \frac{V_0}{R})e^{-t/RC}, \ \ t \ge 0^{+}}
$$
7.4 阶跃响应和固有响应的一般解法
让 $x(t)$ 的 4 种可能值, 来代表电感端的电流或电压, 或电容端的电流或电压.
描述 4 个电路中任意一个, 的微分方程的形式:
$$
\displaylines{ \frac{dx}{dt} + \frac{x}{\tau} = K}
$$
(从形式上可以看出, 这是由基尔霍夫定律定律写出的, $\frac{dx}{dt}$ 就是 $L \frac{di}{dt}$ 和 $C \frac{dv}{dt}$ 的形式, 也可以看成是 $\frac{x}{\tau}$ 加上一个变化量)
其中 $K$ 常量值可以为零.
由于这个电路的电源是恒定电压或电流, 所以 $x$ 的终值将是常量:
$$
\displaylines{x_f = K \tau}
$$
这里 $x_f$ 代表变量的终值, 且当 $x$ 达到终值时, 导数 $\frac{dx}{dt}$ 必须为零.
推导
$$
\displaylines{ \frac{dx}{dt} + \frac{x}{\tau} = K \newline~ \newline
\frac{dx}{dt} = - \frac{x}{\tau} + K = - \frac{x- K \tau}{\tau} = \frac{x- x_f}{\tau}, \ \ x_f = K \tau \newline~ \newline
\frac{dx}{x - x_f} = - \frac{1}{\tau}dt \newline~ \newline
\int_{x(t_0)}^{x(t)} \frac{du}{u - x_f} = - \frac{1}{\tau} \int_{t_0}^t dv \newline~ \newline
\therefore x(t) = x_f + [x(t_0) - x_f] e^{-(t-t_0)/\tau}
}
$$
文字描述:
$作为时间函数的未知变量 = 变量终值 + [ 变量初值 - 变量终值 ] \times e^{- \frac{[t - 时间常数]}{换路时间}}$
计算阶跃和固有响应时, 可以采用的步骤:
- 确定电路的有关变量. $RC$ 电路, 选择电容电压, $RL$ 电路, 选择电感电流
- 决定变量的初始值, 即在 $t_0$ 时的值. 选择电容电压或电感电流作为关心的变量不用区分 $t = t_0^{-}$ 和 $t = t_0^{+}$, 选择另一个变量, 需要记住它的初值是定义在 $t = t_0^{+}$ 时
- 计算变量的终值, 即当 $t -> \infty$ 时的值
- 计算电路的时间常数
判断 $v_C$ 的初值 , 注意电容的参考电压方向:
电容的峰值电压 , 就是两侧所加的最大电压.
电容中的电流可以跃变, 电感中的电压可以跃变
求解电容电压变成零之前, 开关在位置 b 多长时间 , 如 $v_C(t) = 90 - 120e^{-5t}, \ \ t \ge 0$, 即求 $v_C(t) = 0$ 时的时间.
画波形图 , 主要先找出与轴线的交点.
求磁耦合线圈电路的阶跃响应 , 磁耦合线圈可以由单个具有感应的电感代替:
$$
\displaylines{L_{eq} = \frac{L_1 L_2 - M^2}{L_1 + L_2 - 2M}}
$$
7.5 按序换路
电路中如果发生多次换路, 则称之为按序换路. (换路, 指的是如, 双掷开关来回切换, 多重开关按顺序开或关)
对于按序换路问题, 重要的是获得初值 $x(t_0)$ , 换路时电感电流和电容电压不能跃变.
如, 在 $t = 0$ 时, 开关 1 打开, 过了 35 ms 后, 开关 2 打开. 这类问题.
换路后, 初值和时间常数应该都会变.
7.6 无限响应
一个电路响应随时间按指数规律增长而不是衰减, 这种类型的响应称为 无限响应.
如果电路含有非独立源可能会出现无限响应, 此时, 电感或电容端的戴维南等效电阻可以是负的, 这个负电阻产生一个负的时间常数, 结果是电流和电压无限制增长.
注意第四章的测试电源法.
7.7 积分放大器
如图:
产生一个与输入电压积分成正比例的输出电压.
暂时没看.
第8章 RLC 电路的固有响应和阶跃响应
难点在于解 二阶微分方程.
讨论:
- 并联 RLC 电路 (指 RLC 都并联在一起), 存储在电感, 电容中的能量释放将在并联支路上产生电压
- 串联 RLC 电路 (指 RLC 都串联在一起)
为了求出并联电路的固有响应, 需要先求出并联支路的电压. (毕竟对于并联来说, 电压比较方便计算)
为了求出串联电路的固有响应, 需要先求出串联元件的电流. (毕竟对于串联来说, 电流比较方便计算), 这一电流的产生取决于初始状态下存储在电感, 电容上的能量的释放.
(初始电感电流 $I_0$ 和初始电容电压 $V_0$ 代表初始存储的能量)
当一个直流电压源突然加到电路上后电路中产生的电流, 开关闭合时是否有能量存储于电路中也要看具体的电路.
8.1 并联 RLC 电路固有响应简介
利用基尔霍夫电流定律, 这里流出节点的电流和为 0 (按书中给的推导过程来看右侧是断路):
$$
\displaylines{ \frac{v}{R} + \frac{1}{L} \int_0^t v d\tau + I_0 + C \frac{dv}{dt} = 0 \newline~ \newline
}
$$
(电阻上 $i_R = \frac{v}{R}$, 电感上 $i_L = \frac{1}{L} \int_0^t v dt + I_0$, 电容上 $i_C = C \frac{dv}{dt}$)
对 $t$ 取一次微分:
$$
\displaylines{ \frac{1}{R} \frac{dv}{dt} + \frac{v}{L} + C \frac{d^2v}{dt^2} = 0}
$$
(从 $\frac{1}{L} \int_0^t v d\tau$ 可以得知 $v$ 是 $t$ 的函数, 此时得到的为二阶齐次方程)
除以 $C$ :
$$
\displaylines{\frac{d^2v}{dt^2} + \frac{1}{RC} \frac{dv}{dt} + \frac{v}{LC} = 0}
$$
由于出现了二次微分, 所以这种电路又被称为二阶电路.
8.1.1 二次微分方程的一般解法
这一节主要讨论的是二阶微分方程的解法.
典型的解法
假设解为指数形式:
$$
\displaylines{v = A e^{st}}
$$
($A,\ s$ 为未知数)
代入解:
$$
\displaylines{\frac{d^2v}{dt^2} + \frac{1}{RC} \frac{dv}{dt} + \frac{v}{LC} = 0 \newline~ \newline
As^2e^{st} + \frac{As}{RC} e^{st} + \frac{Ae^{st}}{LC} = 0 \newline~ \newline
Ae^{st}(s^2 + \frac{s}{RC} + \frac{1}{LC} = 0)
}
$$
$e^{st}$ 不可能为 0 , 若 $A = 0$, 则 $v = Ae^{st}$ 在任何时刻为零 (当电感或电容中有能量存储时, 电压不可能一直为零), 因此只有:
$$
\displaylines{s^2 + \frac{s}{RC} + \frac{1}{LC} = 0}
$$
(这个式子也被称为微分方程的特性方程, 特性指它决定 $v(t)$ 的数学特性)
利用解一元二次方程的方法, 形如 $ax^2 + bx + c = 0$ , 其解为:
$$
\displaylines{x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \newline~ \newline
x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}
$$
得出解为:
$$
\displaylines{s_1 = - \frac{1}{2RC} + \sqrt{( \frac{1}{2RC} )^2 - \frac{1}{LC}} \newline~ \newline
s_2 = - \frac{1}{2RC} - \sqrt{( \frac{1}{2RC} )^2 - \frac{1}{LC}}}
$$
两个解为 (注意 $A$ 的值):
$$
\displaylines{v_1 = A_1 e^{s_1 t} \newline~ \newline
v_2 = A_2 e^{s_2 t}}
$$
由于 $v_1, \ v_2$ 是解, $v_1 + v_2$ 也是解:
$$
\displaylines{v = v_1 + v_2 = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}}
$$
因此, 可以得到:
$$
\displaylines{ \frac{dv}{dt} = A_1 s_1 e^{s_1 t} + A_2 s_2 e^{s_2 t} \newline~ \newline
\frac{d^2v}{dt^2} = A_1 s_1^2 e^{s_1 t} + A_2 s_2^2 e^{s_2 t}}
$$
代回原式:
$$
\displaylines{A_1 e^{s_1 t}(s_1^2 + \frac{1}{RC}s_1 + \frac{1}{LC}) + A_2 e^{s_2 t}(s_2^2 + \frac{1}{RC}s_2 + \frac{1}{LC}) = 0}
$$
(括号里为 0 , 因此方程成立)
可得出并联 RLC 电路的固有响应为:
$$
\displaylines{v = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}}
$$
区分两个:
特征方程根 $s_1,\ s_2$
微分方程根 $v_1,\ v_2,\ v_1 + v_2$
求解固有响应的第一步 是确定特征方程的根:
术语名称 :
- $s_1,\ s_2$ 称为复频率
- $\alpha$ 称为奈培频率
- $\omega_0$ 称为谐振角频率
单位都是弧度每秒 ($rad/s$)
通过 $\alpha$ 和 $\omega_0$ 的值判断输出, 有三种可能的输出:
- $\omega_0^2 < \alpha^2$, 两不相同实根, 过阻尼响应
- $\omega_0^2 > \alpha^2$, 两根为复数且为共轭复数, 欠阻尼响应
- $\omega_0^2 = \alpha^2$, 两根为相等实数, 临界阻尼响应
8.2 并联 RLC 电路固有响应的形式
二阶 RLC 电路的响应取决于 $s_1$ 和 $s_2$ 的值, 而 $s_1$ 和 $s_2$ 又取决于电路的参数 $R,\ L,\ 和\ C$.
求解固有响应的第一步是 先确定 $s_1$ 和 $s_2$ 的值, 然后确定响应是过阻尼, 欠阻尼, 还是临界阻尼.
需要确定 $A_1\ 和\ A_2$ 的值, 利用初始条件. (即, 由初始状态决定, 由 $v(0^{+})\ 和\ dv(0^{+})/dt$ 决定)
8.2.1 过阻尼电压响应
$\omega_0^2 < \alpha^2$, 两不相同实根, 过阻尼响应
利用电容上的初始电压和电感上的初始电流来确定 $A_1\ 和\ A_2$ 的值 (已知 $s_1\ 和\ s_2$):
$$
\displaylines{v(0^{+}) = A_1 + A_2 \newline~ \newline
\frac{dv(0^{+})}{dt} = s_1 A_1 + s_2 A_2 \newline~ \newline
\frac{dv(0^{+})}{dt} = \frac{i_C(0^{+})}{C} \newline~ \newline
i_C(0^{+}) = \frac{-V_0}{R} - I_0
}
$$
8.2.2 欠阻尼电压响应
$\omega_0^2 > \alpha^2$, 两根为复数且为共轭复数, 欠阻尼响应
令:
$$
\displaylines{s_1 = - \alpha + \sqrt{-( \omega_0^2 - \alpha^2)} = - \alpha + j \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} = -\alpha + j \omega_d \newline~ \newline
s_2 = - \alpha - j \omega_d \newline~ \newline
\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}
}
$$
$\omega_d$ 为阻尼角频率.
利用欧拉变换:
$$
\displaylines{e^{\pm j \theta} = \cos \theta \pm j\sin \theta}
$$
解:
$$
\displaylines{v(t) = A_1 e^{(-\alpha + j\omega_d)t} + A_2 e^{(-\alpha + j\omega_d)t} \newline~ \newline
= A_1 e^{-\alpha t}e^{j\omega_d t} + A_2 e^{-\alpha t}e^{j\omega_d t} \newline~ \newline
= e^{-\alpha t}(A_1 \cos \omega_d t + jA_1 \sin\omega_d t + A_2 \cos \omega_d t - jA_2 \sin\omega_d t) \newline~ \newline
= e^{-\alpha t}[(A_1 + A_2)\cos \omega_d t + j(A_1 - A_2)\sin\omega_dt]
}
$$
用 $B_1,\ B_2$ 代替 $A_1 + A_2$ 和 $j(A_1 - A_2)$ 得:
$$
\displaylines{ v = B_1 e^{-\alpha t} \cos \omega_d t + B_2 e^{-\alpha t} \sin\omega_dt}
$$
欠阻尼响应的性质:
- 振荡性 (三角函数决定), 电压振荡频率与 $\omega_d$ 有关
- 振荡的幅度以指数形式衰减, 衰减速率由 $\alpha$ 决定
8.2.3 欠阻尼响应特性
见书.
8.2.4 临界阻尼电压响应
$\omega_0^2 = \alpha^2$, 两根为相等实数, 临界阻尼响应
由于:
$$
\displaylines{s_1 = s_2 = - \alpha = - \frac{1}{2RC}}
$$
电压形式由:
$$
\displaylines{v = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}}
$$
变为:
$$
\displaylines{v(t) = D_1 t e^{- \alpha t} + D_2 e^{- \alpha t} }
$$
联立:
$$
\displaylines{v(0^{+}) = V_0 = D_2 \newline~ \newline
\frac{dv(0^{+})}{dt} = \frac{i_C(0^{+})}{C} = D_1 - \alpha D_2
}
$$
可解出.
8.3 并联 RLC 电路的阶跃响应
求解二阶电路阶跃响应的一般方法, 重点应求解电感之路上的电流 ($i_L$)
求解电感电流 $i_L$, 利用基尔霍夫定律电流定律
$$
\displaylines{i_L + i_R + i_C = I, \ i_C = C \frac{dv}{dt} \newline~ \newline
\therefore i_C + \frac{v}{R} + C \frac{dv}{dt} = I \newline~ \newline
\because v = L \frac{di_L}{dt} \newline~ \newline
\therefore \frac{dv}{dt} = L \frac{d^2 i_L}{dt^2} \newline~ \newline
\therefore i_L + \frac{L}{R} \frac{di_L}{dt} + LC \frac{d^2 i_L}{dt^2} \newline~ \newline
\therefore \frac{d^2 i_L}{dt^2} + \frac{1}{RC} \frac{di_L}{dt} + \frac{i_L}{LC} = \frac{I}{LC}
}
$$
求值过程见下.
8.3.1 间解法
先求 $v$ 再求 $i$:
$$
\displaylines{i_L + \frac{v}{R} + C \frac{dv}{dt} = I,\ \ i_L = \frac{1}{L} \int_0^t v d\tau \newline~ \newline
\frac{1}{L} \int_0^t v d\tau + \frac{v}{R} + C \frac{dv}{dt} = I \newline~ \newline
\frac{v}{L} + \frac{1}{R} \frac{dv}{dt} + C \frac{d^2 v}{dt^2} = 0 \newline~ \newline
\frac{d^2v}{dt^2} + \frac{1}{RC} \frac{dv}{dt} + \frac{v}{LC} = 0
}
$$
可得到三种可能解:
$$
\displaylines{v = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t} \newline~ \newline
v = B_1 e^{- \alpha t} \cos \omega_d t + B_2 e^{- \alpha t} \sin \omega_d t \newline~ \newline
v = D_1 t e^{- \alpha t} + D_2 e^{- \alpha t}
$$
将上述解代回:
$$
\displaylines{i_L + \frac{v}{R} + C \frac{dv}{dt} = I}
$$
得到:
$$
\displaylines{i_L = I + A^\prime_1 e^{s_1 t} + A^\prime_2 e^{s_2 t} \newline~ \newline
i_L = I + B^\prime_1 e^{- \alpha t} \cos \omega_d t + B^\prime_2 e^{- \alpha t} \sin \omega_d t \newline~ \newline
i_L = I + D^\prime_1 t e^{\alpha t} + D^\prime_2 e^{- \alpha t}
}
$$
8.3.2 直接法
具体见书, 不是很懂.
带常数的二阶微分方程的解等于一个强制响应加上一个固有响应, 因此阶跃响应的解可以表示为:
$$
\displaylines{i = I_f + \{固有响应\} \newline~ \newline
v = V_f + \{固有响应\}
}
$$
8.4 串联 RLC 电路的固有响应和阶跃响应
串联 RLC 电路和并联 RLC 电路可以用相同形式的微分方程来描述, 所以两种电路的固有响应和阶跃响应的求解过程类似.
利用基尔霍夫电压定律:
$$
\displaylines{Ri + L \frac{di}{dt} + \frac{1}{C} \int_0^t i d\tau + V_0 = 0 \newline~ \newline
R \frac{di}{dt} + L \frac{d^2i}{dt^2} + \frac{i}{C} = 0 \newline~ \newline
\frac{d^2i}{dt^2} + \frac{R}{L} \frac{di}{dt} + \frac{i}{LC} = 0}
$$
得到特征方程为:
$$
\displaylines{s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC} = 0}
$$
解得特征根为:
$$
\displaylines{s_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}}
$$
奈培频率的值为:
$$
\displaylines{\alpha = \frac{R}{2L} rad/s}
$$
(其相当于特征函数中的 $\frac{b}{2a}$)
谐振角频率为:
$$
\displaylines{\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} rad/s}
$$
(其相当于特征函数中的 $\sqrt{\frac{c}{a}}$)
同样根据:
- $\omega_0^2 < \alpha^2$, 过阻尼
- $\omega_0^2 > \alpha^2$, 欠阻尼
- $\omega_0^2 = \alpha^2$, 临界阻尼
得到的响应形式为:
$$
\displaylines{i(t) = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}\ (过阻尼) \newline~ \newline
i(t) = B_1 e^{- \alpha t} \cos \omega_d t + B_2 e^{- \alpha t} \sin \omega_d t \ (欠阻尼)\newline~ \newline
i(t) = D_1 t e^{\alpha t} + D_2 e^{- \alpha t} \ (临界阻尼)
}
$$
8.5 双集成运放电路
见书.
第9章 正弦稳态分析
正弦稳态分析, 即分析电压源或电流源是正弦变化时的电路.
9.1 正弦信号源
正弦电压源 能够产生随时间正弦变化的电压信号.
正弦电流源 能够产生随时间正弦变化的电流信号.
一个按正弦规律变化的函数即可以用正弦函数表示也可以用余弦函数表示.
如:
$$
\displaylines{v = V_m \cos(\omega t + \phi)}
$$
$V_m$ 表示正弦电压的最大值. 即振幅.
周期 $T$ (单位 s) 和频率 $f$ (单位 Hz):
$$
\displaylines{f = \frac{1}{T}}
$$
$\omega$ 表示正弦函数的角频率:
$$
\displaylines{\omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T} (rad/s)}
$$
(可以理解为, 1 秒内转动的总角度, $\omega t$ 就是一段时间转过的总角度, 名称的由来可能是, 出现正弦波的频率, 毕竟 $f=1$ 时表示出现一个完整的正弦波形, 因此叫角频率)
$\phi$ 表示相位角. (相位, 可以理解为相对位置) 其代表 $t = 0$ 时, 正弦函数的值. 其可以使正弦函数沿时间轴平移, 但不会影响 $V_m$ 和 $\omega$.
如果 $\phi$ 为正, 则正弦函数左移 , 如果 $\phi$ 为负, 则正弦函数右移.
弧度与度的关系:
$$
\displaylines{(度数) = \frac{180^\circ}{\pi} (弧度)}
$$
正弦电压 (电流) 函数的一个重要特征, 其均方根 (一个函数平方的平均值再开方称为该函数的均方根), 如 $v = V_m \cos (\omega t + \phi)$, 为:
$$
\displaylines{V_{rms} = \sqrt{ \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} V_m^2 \cos^2 (\omega t + \phi)dt} \newline~ \newline
= \frac{V_m}{\sqrt{2}}
}
$$
(积的是一个周期)
可能需要用到倍角公式:
可以看出 正弦电压的均方根仅仅取决于 v 的最大幅值
9.2 正弦响应
求解正弦响应实际上就是求解响应的幅值和相位角. (形状和频率已知了, 当然还是先求电流或电压的表达式)
$v_s$ 是正弦电压 $v_s = V_m \cos (\omega t + \phi)$
利用基尔霍夫电压定律:
$$
\displaylines{L \frac{di}{dt} + Ri = V_s \cos (\omega t + \phi)}
$$
解出:
$$
\displaylines{i = \frac{-V_m}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}} \cos (\phi - \theta) e^{-(R/L)t} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}} \cos (\omega t + \phi - \theta)
}
$$
其中 $\theta = \omega \frac{L}{R}$.
$\frac{V_m}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}} \cos (\phi - \theta) e^{-(R/L)t}$ 被称为 电流的暂态分量 , 因为随着时间的推移, 它将趋于无穷小.
$\frac{-V_m}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}} \cos (\omega t + \phi - \theta)$ 被称为 稳态分量 , 因为只要开关保持闭合状态且信号源为正弦电压, 这个分量就一直存在.
暂态分量响应和稳态分量响应合称为全响应.
几条关于稳态响应的性质:
9.3 相量
正弦函数的相量是 含幅值 ($V_m$) 和相位角 ($\phi$) 的复数. (正因为求解正弦函数的响应是求其幅值和相位角, 才需要这个量来简化计算, 响应的频率和电源的频率相同)
欧拉定理 , 描述了指数函数与三角函数的关系.
$$
\displaylines{e^{\pm j \theta} = \cos \theta \pm j \sin \theta}
$$
(注意, 这里的正负号不影响角度里的正负号, 只是影响的正弦函数前的符号, 三角函数中都是 $\theta$, 且其都是大于零)
ℜ 表示上述的实数部分, 即 $\cos \theta = ℜ \{e^{j \theta}\}$
因此有:
$$
\displaylines{v = V_m \cos (\omega t + \phi) = V_m ℜ \{e^{j(\omega t + \phi)}\} = V_m ℜ \{e ^{j \omega t} e^{j \phi}\} \newline~ \newline
v = ℜ \{V_m e^{j\phi} e^{j\omega t}\}
}
$$
这里, $V_m e^{j\phi}$ 就是一个包含给定正弦函数的幅值以及相位角的复数, 即给定正弦函数的相量.
有:
$$
\displaylines{V = V_m e^{j\phi} = P\{V_m \cos (\omega t + \phi)\}}
$$
其中, $P\{V_m \cos (\omega t + \phi)\}$ 读为 “$V_m \cos(\omega t + \phi)$ 的相量变换”, 这里也是相量的极坐标形式.
通过相量变换可以将 时域(time domain, 描述数学函数或物理信号对时间的关系) 上的正弦函数变换到 复数域 , 有时也称为 频率域(frequency domain, 研究数学函数或物理信号和频率相关而与时间无关) .
相量的三角函数形式 :
$$
\displaylines{ V = V_m e^{j\phi} \newline~ \newline
利用欧拉定理分解\ e^{j\phi},\ \ V = V_m \cos \phi + jV_m sin \phi}
$$
指数函数 $e^{j\phi}$ 的简化符号:
$1\ \angle^{\phi^\circ} = 1\ e^{j\phi}$
(用这个符号也很显然, 因为这里我们只关心相位角)
9.3.1 反相量变换
反相量变换 指, 已知相量形式推导出正弦函数.
(注意变换都是基于余弦函数 $\cos$)
由于相量仅仅包含幅值和相位信息, 所以不能从相量中推导出 $\omega$ 的值.
描述公式:
$$
\displaylines{P^{-1} \{V_m e^{j\phi}\} = ℜ \{V_m e^{j\phi} e^{j\omega t}\}}
$$
$P^{-1} \{V_m e^{j\phi}\}$ 读作 “ $V_m e^{j \phi}$ 的反相量变换”
注意, 相量变换和反相量变换允许函数在时域和频域之间转换, 因此, 对于电路的解, 即可以表示为时域的形式, 也可以表示为频域的形式.
相量法可用来计算正弦函数的和, 见书.
后面有推导, 大概就是, 如果:
$$
\displaylines{v = v_1 + v_2 + … + v_n}
$$
则有:
$$
\displaylines{V = V_1 + V_2 + … + V_n}
$$
示例:
$y_1 = 20 \cos (\omega t - 30^\circ),\ y_2 = 40 \cos (\omega t + 60^\circ)$, 求 $y = y_1 + y_2$ 的正弦函数表达式 (利用相量法求解)
$$
\displaylines{\because y = y_1 + y_2 \newline~ \newline
Y = Y_1 + Y_2 \newline~ \newline
= 20 \angle^{-30^\circ} + 40 \angle^{60^\circ} \newline~ \newline
= (17.32 - j 10) + (20 + j 34.64) \newline~ \newline
= 37.32 + j 24.64 \newline~ \newline
= 44.72 \angle^{33.43^\circ} \newline~ \newline
\therefore y = P^{-1} \{44.72 e^{j33.43}\} = ℜ \{44.72 e^{j33.43} e^{j\omega t}\} = 44.72 \cos(\omega t + 33.43^\circ)
}
$$
9.4 频域下的无源电路元件
应用相量变换法需要两个步骤:
- 建立电流相量与无源电路元件两端的电压相量之间的关系式
- 建立相量域下的基尔霍夫定律
9.4.1 电阻的伏安特性
$$
\displaylines{i = I_m \cos (\omega t + \theta_i) \newline~ \newline
v = R[I_m \cos (\omega t + \theta_i)] = R I_m [\cos (\omega t + \theta_i)] \newline~ \newline
V = R I_m e^{j \theta_i} = R I_m \angle^{\theta_i}, \ I = I_m \angle^{\theta_i} \newline~ \newline
V = RI
}
$$
即, 电阻两端的电压相量等于电阻乘以电流相量.
信号同相 , 指:
即同时到达波峰波谷之类的对应值.
电阻两端的电流和电压之间没有相位移动 (这里是否有相位移动看两者的 $\angle^{\theta}$ 之间有没有差值, 相位差的作用就是观察电压电流是否同时到达波峰之类的)
9.4.2 电感的伏安特性
即, 电感的电流相量与它两端的电压相量之间的关系式.
$$
\displaylines{i = I_m \cos (\omega t + \theta_i) \newline~ \newline
v = L \frac{di}{dt} = - \omega L I_m \sin (\omega t + \theta_i) \newline~ \newline
= L \frac{di}{dt} = - \omega L I_m \cos (\omega t + \theta_i - 90^\circ) \newline~ \newline
V = -\omega L I_m e^{j(\theta_i - 90^\circ)} \newline~ \newline
= -\omega L I_m e^{j \theta_i}e^{-j 90^\circ},\ \ e^{-j 90^\circ} = \cos90^\circ - j\sin90^\circ = -j \newline~ \newline
= j \omega L I_m e^{j\theta} \newline~ \newline
= j \omega L I
}
$$
(主要需要记住结论, 即电感的电压相量和电流相量的关系)
电感两端的电压相量与电流相量之间的关系同样适用于互感线圈.
由于:
$$
\displaylines{V = j \omega L I \newline~ \newline
= (\omega L \angle^{90^\circ)}I_m \angle^{\theta_i} = \omega L I_m \angle^{(\theta_i + 90)^\circ}
}
$$
因此这里电流滞后电压 $90^\circ$
(其实也很容易理解, 在电感中, 由于楞次定理, 电流是持续变大的, 确实滞后于电压)
9.4.3 电容的伏安特性
推出电容两端的电压相量与电流相量之间的关系式:
$$
\displaylines{i = C \frac{dv}{dt} \newline~ \newline
v = V_m \cos (\omega t + \theta_v) \newline~ \newline
I = j \omega C V \newline~ \newline
V = \frac{1}{j \omega C} I}
$$
由于:
$$
\displaylines{V = \frac{1}{\omega C} \angle^{-90^\circ} I_m \angle^{\theta^\circ_i} = \frac{I_m}{\omega C} \angle^{(\theta_i - 90)^\circ}
}
$$
这里有电流超前电压 $90^\circ$
(结合者电感记忆)
9.4.4 阻抗和电抗
无源电路元件的电压相量与电流相量之间的关系式的统一形式:
$$
\displaylines{V = ZI}
$$
$Z$ 表示电路元件的阻抗 (单位为欧姆, 阻抗为复数, 但不是相量), 其值等于电路元件的电压相量与电流相量之比.
由此可以推导出:
- 电阻阻抗: $R$
- 电感阻抗: $j \omega L$
- 电容阻抗: $\frac{1}{j \omega C}$
9.5 频域下的基尔霍夫定律
9.5.1 频域下的基尔霍夫定律电压定律
假设 $v_1$~$v_n$ 为一闭合回路上的电压, 由基尔霍夫定律得:
$$
\displaylines{v_1 + v_2 + … + v_n = 0}
$$
正弦形式:
$$
\displaylines{V_{m_1}\cos (\omega t + \theta_1) + V_{m_2}\cos (\omega t + \theta_2) + … + V_{m_n}\cos (\omega t + \theta_n) = 0}
$$
欧拉定理:
$$
\displaylines{ℜ \{V_{m_1} e^{j \theta_1} e^{j \omega t}\} + ℜ \{V_{m_2} e^{j \theta_2} e^{j \omega t}\} + … + ℜ \{V_{m_n} e^{j \theta_n} e^{j \omega t}\}}
$$
得:
$$
\displaylines{ℜ \{V_{m_1} e^{j \theta_1} e^{j \omega t} + V_{m_2} e^{j \theta_2} e^{j \omega t} + … + V_{m_n} e^{j \theta_n} e^{j \omega t}\}}
$$
提取 $e^{j \omega t}$:
$$
\displaylines{ℜ \{(V_{m_1} e^{j \theta_1} + V_{m_2} e^{j \theta_2} + … + V_{m_n} e^{j \theta_n})e^{j\omega t}\} = 0}
$$
即:
$$
\displaylines{ℜ \{(V_1 + V_2 + … + V_n) e^{j \omega t}\} = 0}
$$
由于 $e^{j \omega t} \ne 0$, 所以:
$$
\displaylines{V_1 + V_2 + … + V_n = 0}
$$
这就是频域下的等效公式.
9.5.2 频域下的基尔霍夫电流定律
类似的推导方法:
$$
\displaylines{i_1 + i_2 + … + i_n = 0 \newline~ \newline
I_1 + I_2 + … + I_n = 0}
$$
电路的相量分析法包括两个基本任务:
- 必须建立电路的频域模型
- 必须能够熟练进行复数或者代数计算
9.6 串联, 并联和三角形-星形变换
9.6.1 并联阻抗和串联阻抗的合并
将 各阻抗相加 可以将 串联阻抗 等效为一个阻抗.
推导:
串联阻抗都具有相同的电流相量:
$$
\displaylines{V_{ab} = Z_1 I + Z_2 I + … + Z_n I = (Z_1 + Z_2 + … + Z_n)I \newline~ \newline
Z_{ab} = \frac{V_{ab}}{I} = Z_1 + Z_2 + … + Z_n
}
$$
注意这里的计算 :
$$
\displaylines{I = \frac{750 \angle^{30^\circ}}{150 \angle^{53.13^\circ}} = 5 \angle^{-23.13^\circ}
}
$$
这里不用展开来算, 能直接相减的原因为, 其可以化为 $\frac{e^{j30^\circ}}{e^{j53.13^\circ}}$
虽然阻抗不是相量, 但也可以表示为如 $\left\vert Z \right\vert \angle^{\theta^\circ}$ 的形式.
并联阻抗 可以通过下面的关系式等效为一个阻抗:
$$
\displaylines{ \frac{1}{Z_{ab}} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} + … + \frac{1}{Z_n}}
$$
推导
由于各阻抗具有相同的端电压:
$$
\displaylines{I = I_1 + I_2 + … + I_n \newline~ \newline
\frac{V}{Z_{ab}} = \frac{V}{Z_1} + \frac{V}{Z_2} + … + \frac{V}{Z_n}
}
$$
两个阻抗并联的情况:
$$
\displaylines{Z_{ab} = \frac{Z_1 Z_2}{Z_1 + Z_2}}
$$
将:
$$
\displaylines{ \frac{1}{Z_{ab}} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} + … + \frac{1}{Z_n}}
$$
写成 导纳的形式, 导纳定义为阻抗的倒数, 记为 $Y$, 因此有:
$$
\displaylines{Y = \frac{1}{Z} = G + jB (S)}
$$
这里, 导纳是一个复数, 实部 $G$ 为电导, 虚部 $B$ 称为电纳, 单位均为西门子 (S).
$$
\displaylines{Y_{ab} = Y_1 + Y_2 + … + Y_n}
$$
(提取位于分母的 $j$ , 如 $\frac{1}{j \omega c} = -j \frac{1}{\omega c}$, 这里就是分子分母同时乘以 $j$, 然后 $j^2 = -1$, 因此有个负号)
导纳到阻抗的转换 :
$$
\displaylines{Y = 0.2 \angle^{36.87^\circ} \newline~ \newline
Z = \frac{1}{Y} = 5 \angle^{-36.87^\circ}}
$$
(角度直接加负号)
注意 , 稳态响应的电压和电流的频率相同.
9.6.2 三角形-星形变换
普通电阻电路中的 $\Delta - Y$ 变换仍适用于阻抗电路.
具体见书.
9.7 电源变换以及戴维南-诺顿等效电路
普通电路中的电源变换和戴维南-诺顿等效电路的分析方法仍然适用于频域下的电路.
(唯一的区别在于用阻抗 (Z) 代替了电阻 (R))
9.8 节点电压法
9.9 网孔电流法
9.10 变压器
9.11 理想变压器
9.12 相量图
第10章 正弦稳态功率计算
几乎所有的电能都是以正弦电压和电流的形式供给的.
待机功率 , 可能用于运行一个内部时钟, 给电池充电, 显示时间或其他参数, 监控温度或其他环境指标, 或用于搜索接收信号.
10.1 瞬时功率
计算:
$$
\displaylines{p = vi}
$$
瞬时功率的单位为 $W$.
原本:
$$
\displaylines{v = V_m \cos (\omega t + \theta_v) \newline~ \newline
i = I_m \cos (\omega t + \theta_i)}
$$
工程师发现选择正弦电流为正的最大值时的时间作为零时刻最为方便, 因此变为:
$$
\displaylines{v = V_m \cos (\omega t + \theta_v - \theta_i) \newline~ \newline
i = I_m \cos (\omega t)}
$$
最终得:
$$
\displaylines{p = V_m I_m cos (\omega t + \theta_v + \theta_i) \cos \omega t}
$$
利用三角变换得到的公式:
10.2 平均功率和无功功率
平均功率描述了电路将电能转变为其他形式能量的功率, 又被称为 实功率 .
计算:
$$
\displaylines{P = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} p dt \newline~ \newline
最终可得: P = \frac{V_m I_m}{2}\cos (\theta_v - \theta_i) \newline~ \newline
(这里的计算需要用到三角变换)
}
$$
(这里可以总结计算一个量的平均值的方法, 就是先积分, 再除以一个量)
无功功率:
$$
\displaylines{Q = \frac{V_m I_m}{2} \sin (\theta_v - \theta_i)}
$$
10.2.1 纯电阻电路的功率
纯电阻电路, 电压和电流同相, $\theta_v = \theta_i$:
$$
\displaylines{p = P + P \cos 2\omega t}
$$
这里瞬时功率不可能为负, 能量不肯能从一个纯电阻电路输出, 所有的电能都以热能的形式消耗掉了.
10.2.2 纯电感电路的功率
纯电感电路, 电压和电流的相位差 $90^\circ$, 电流滞后电压 $90^\circ$
瞬时功率表达式:
$$
\displaylines{p = -Q \sin 2\omega t}
$$
平均功率为零. (毕竟 p 为正时, 能量存储于电感元件的磁场中, 当 p 为 负时, 能量从磁场中释放)
这里只和无功功率 (单位为 VAR, 无功伏安)相关.
无功功率的名称 , 也是来自这里的无功特性, 即平均功率为零.
10.2.3 纯电容电路的功率
纯电容电路, 电压和电流的相位差 $90^\circ$, 电流超前电压 $90^\circ$.
瞬时功率表达式:
$$
\displaylines{p = -Q \sin 2\omega t}
$$
这里也可知, 平均功率为零. (即没有发生电能与其他形式能量间的转换)
10.2.4 功率因数
在计算平均功率和无功功率时用到的角 $\theta_v - \theta_i$ 称为 功率因数角 , 这个角的余弦函数称为 功率因素, pf, 正弦函数称为 无功功率因数, rf:
即:
$$
\displaylines{pf = \cos (\theta_v - \theta_i) \newline~ \newline
rf = \sin (\theta_v - \theta_i)}
$$
滞后功率因数 表示电流滞后电压, 是感性负载 (这里的感应该指电感)
超前功率因数 表示电流超前电压, 是容性负载 (这里的感应该指电容)
10.3 均方根及功率计算
若电阻两端的电压为正弦电压, 则, 电阻 R 上的平均功率就是电压均方根的平方除以 $R$:
$$
\displaylines{P = \frac{V^2_{rms}}{R}}
$$
若电阻两端的电流为正弦电流, 则, 电阻 R 上的平均功率就是电压均方根的平方乘以 $R$:
$$
\displaylines{P = I^2_{rms}R}
$$
均方根值也称电压 (或电流) 的有效值, 即对于给定的等效电阻负载 $R$ 和时间周期 $T$, 正弦电源供给给电阻的能量等于与正弦电源均方根相同的直流电源供给给电阻 $R$ 的能量. (两个电源产生的效果相同, 因此称为有效值)
$V_{rms} = V_{eff}$
10.4 复功率
复功率 是平均功率和无功功率的复数和 (单位为伏安 $VA$):
$$
\displaylines{S = P + jQ}
$$
有 $P = ℜ \{S\}$ (另一个符号不知道是什么)
复功率的几何特性 : 可以将 $P,\ Q\ 和\ \left\vert S \right\vert$ 作为直角三角形的 3 个边:
有:
$$
\displaylines{ \frac{Q}{P} = \frac{ \frac{V_mI_m}{2} \sin(\theta_v - \theta_i)}{ \frac{V_mI_m}{2} \cos(\theta_v - \theta_i)} = \tan (\theta_v - \theta_i)}
$$
复功率的模称为 视在功率 , 即:
$$
\displaylines{ \left\vert S \right\vert = \sqrt{P^2 + Q^2}}
$$
平均功率表示能量转换设备的有用输出, 视在功率表示提供这样的平均功率需要多大的伏安容量.
10.5 功率计算
第12章 拉普拉斯变换简介
拉普拉斯变换, 简称拉氏变换.
拉普拉斯变换技术能用来确定电路对正弦电源的完全响应.
使用拉氏变换将表达式从时域转换到频域的作用, 可能为, 简化计算, 并可在最后换算回时域.
12.1 拉氏变换的定义
函数拉氏变换定义为:
$$
\displaylines{\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t) e^{-st}dt
}
$$
$\mathcal{L}\{f(t)\}$ 读为 “ $f(t)$ 的拉氏变换”
$f(t)$ 的拉氏变换也可记为 $F(s)$ :
$$
\displaylines{F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}}
$$
这里的 $t$ 代表时域, $s$ 具有时间的倒数的量纲, 即频率. (因此, 似乎 s 域就是频域)
需要拉氏变换的原因
拉氏变换将问题 从时域变换到频域. (利用频域算出结果后又可以用逆变换变回时域)
数学变换的特点: 建立一种新的域, 简化数学运算, 再找到了新域中的未知数后, 再逆变换到原来的域. (如对数将乘除法问题转化为加减法, $A = BC$ 变为 $logA = logBC = logB + logC$, 再反对数求得结果)
这里的拉氏变换单边拉氏变换, 因为积分下限为 $0$, 在 双边拉氏变换 中, 积分下限为 $- \infty$, 这里不使用双边拉氏变换.
将拉氏变换分为两种:
- 函数变换, 是特殊函数的变换, 如 $\sin \omega t,\ t,\ e^{at}\ 等$
- 算子变换, 定义了拉氏变换的一般数学特性, 比如加减乘除, 微分, 积分
12.2 阶跃函数
实际中, 可能会遇到在原点不连续的或有跳变的函数. 可以用阶跃或冲激函数来表达这种不连续性.
阶跃函数用于 描述描述系统的初始状态，以及描述信号的变化过程。
阶跃函数 , 当 $t < 0$ 时, 其值为零, 当 $t > 0$ 时, 其值为 $K$. 用 $Ku(t)$ 表示, 数学定义为:
$$
\displaylines{Ku(t) = 0, t < 0 \newline~ \newline
Ku(t) = K, t > 0}
$$
若 $K = 1$, 则为 单位阶跃函数
阶跃函数在 $t = 0$ 时无定义, 当需要定义 $0^{-}$ 与 $0^{+}$ 之间的过渡过程时, 就假设函数是线性的, 且:
$$
\displaylines{Ku(0) = 0.5K}
$$
(阶跃, 可能就是这里从 0 变化到 $K$)
不连续点也可能出现在 $t$ 不等于零的其他点:
$$
\displaylines{Ku(t - a) = 0,\ t < a \newline~ \newline
Ku(t - a) = 0,\ t > a}
$$
需要知道一个记法:
$$
\displaylines{K[u(t-1)-u(t-3)]}
$$
表明在 $1<t<3$ 时其值为 K, 在其他处其值为 0.
示例:
用阶跃方程表示如图函数
结果为:
$$
\displaylines{f(t) = 2t[u(t) - u(t-1)] + (-2t + 4)[u(t-1) - u(t-3)] + (2t-8)[u(t-3)-u(t-4)]}
$$
含义为, $0<t<1$ 时, 其值为 $2t$, $1<t<3$
12.3 冲激函数
冲激 是具有无穷大的幅值而持续时间为零的信号, 自然界中并不存在这种信号, 但一些电路中的信号与这种定义非常接近.
冲激函数是为了 描述函数的导数在间短点处没有定义的情况, 即描述系统的冲击响应.
当函数存在有界间断点时, 如下图的原点处:
函数的导数在间断点处没有定义, 可以用冲激函数的概念定义间断点的导数.
(注意这里未定义的部分采用线性处理, 为 $\frac{1}{2 \epsilon} t + 0.5$)
分析
对上述函数取微分后得到:
$$
\displaylines
{
\begin{cases}
0, \ \ t < - \epsilon \newline~ \newline
\frac{1}{2 \epsilon}, \ \ -\epsilon \le t \le \epsilon \newline~ \newline
-a e^{1(t- \epsilon)}
\end{cases}
}
$$
图像为:
可以看出:
- 当 $\epsilon \rightarrow 0$ 时, 在 $-\epsilon$ 与 $+\epsilon$ 之间, $f^\prime (t)$ 的值趋于无穷大, 同时这个极大值的持续时间也趋于0
- 当 $\epsilon \rightarrow 0$ 时, 在 $-\epsilon$ 与 $+\epsilon$ 之间, $f^\prime (t)$ 的面积保持常数 ( $\frac{1}{2 \epsilon} \times 2 \epsilon = 1$ )
此时, 当 $\epsilon \rightarrow 0$ 时, 在 $-\epsilon$ 与 $+\epsilon$ 之间的函数 (这个导数) 趋于冲激函数 (冲激函数就是值趋于无穷但是持续时间为0 的函数), 用 $\delta (t)$ 表示
有:
$$
\displaylines
{
f^\prime(0) \rightarrow \delta (t), \ \ \epsilon \rightarrow 0
}
$$
(即, 当 $\epsilon \rightarrow 0$ 时, 函数 $f(t)$ 的导数在原点处趋近于单位冲激函数)
数学上, 冲激函数的定义为:
$$
\displaylines{\int_{-\infty}^{+\infty} K \delta(t)dt = K \newline~ \newline
\delta (t) = 0, t \ne 0 \newline~ \newline
\delta (0) = 1}
$$
(条件表明, 除了 $t = 0$ 以外, 冲激函数值都为 0)
这里的冲激函数是 $K \delta(t)$ 而不是 $\delta (t)$, $\delta (t)$ 表示的是单位冲激函数 (若冲激函数曲线下的面积不等于 1, 冲激函数就用 $K \delta (t)$ 表示, 其中 K 是面积, 也指冲激函数的强度)
冲激函数是由可变函数中的参数趋于 0 时形成的 (这里就是 $t$), 当参数趋于 0 时, 可变参数函数表现出以下三个特性:
- 幅值趋于无穷大
- 函数的持续时间趋于 0
- 当参数变化时, 函数下的面积为常数 (该面积表示 冲激强度 )
若一个曲线的面积为常数 K, 因此, $\epsilon \rightarrow 0$ 时, $f(t) \rightarrow K \delta (t)$ ( $\delta (t)$ 表示单位冲激函数, 面积值为 1)
冲激函数的波形符号为一箭头, 冲激的强度用靠近箭头的数值给出, 如:
冲激函数的另一个重要特性就是 筛选特性 :
$$
\displaylines{\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \delta (t-a)dt = f(a)}
$$
函数 $f(t)$ 在 $t=a$ 处假设为连续的. 这里就筛掉了 $t=a$ 以外的所有 $f(t)$ 的值.
(毕竟, 当 $t = 1$ 时, $\delta(t-a)$ 的值为 1, 而 $t \ne a$ 时, $\delta(t-a)$ 的值为 0)
利用冲激函数的筛选特性求出其拉氏变换 (即求冲激函数的拉氏变换):
$$
\displaylines{\mathcal{L}\{\delta (t)\} e^{-st}dt = \int_{0^{-}}^\infty \delta(t) e^{-st}dt = \int_{0^{-}}^\infty \delta(t)dt = 1
}
$$
(这里值为 1 也是同样的道理: 当 $t = 0$ 时, $\delta(t)$ 的值为 1, 而 $t \ne 0$ 时, $\delta(t)$ 的值为 0)
两个有助于理解的图:
(前者利用了将未定义部分线性化的设定, 这里 $\epsilon \rightarrow 0$ 时, $\frac{1}{\epsilon} \rightarrow \infty$ )
几个推导出的结论 (过程可以见书):
求 $\delta^\prime (t)$ 的拉氏变换
$$
\displaylines{\mathcal{L}\{\delta^\prime (t)\} = s}
$$
推广:
$$
\displaylines{\mathcal{L}\{\delta^{(n)} (t)\} = s^n}
$$
冲激函数可看成是阶跃函数的导数:
$$
\displaylines{\delta (t) = \frac{du(t)}{dt}}
$$
原因见书
12.4 函数变换
单位阶跃函数, 即:
特点就是, $t < 0$ 时, 函数值为 0, $t > 0$ 时, 函数值为 1.
因此, 单位阶跃函数的拉氏变换为:
$$
\displaylines{\mathcal{L}\{u(t)\} = \int_{0^{-}}^{\infty} f(t) e^{-st} dt = \int_{0^{+}}^{\infty} 1 e^{-st} dt = \frac{e^{-st}}{-s} \vert_{0^{+}}^{\infty} = \frac{1}{s}}
$$
常见函数的拉氏变换值:
12.5 算子变换
12.5.1 乘以常数
若:
$$
\displaylines{\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)}
$$
则:
$$
\displaylines{\mathcal{L}\{Kf(t)\} = KF(s)}
$$
12.5.2 加 (减) 运算特性
时域的加 (减) 对应于频域的加 (减), 若:
$$
\displaylines{\mathcal{L}\{f_1(t)\} = F_1(s) \newline~ \newline
\mathcal{L}\{f_2(t)\} = F_2(s) \newline~ \newline
\mathcal{L}\{f_3(t)\} = F_3(s)}
$$
则:
$$
\displaylines{\mathcal{L}\{f_1(t) + f_2(t) + f_3(t)\} = F_1(s) + F_2(s) + F_3(s)}
$$
12.5.3 微分
时域的微分可化为 s 域的代数运算.
$$
\displaylines{\mathcal{L}\{ \frac{df(t)}{dt}\} = sF(s) - f(0^{-})
}
$$
或直接:
$$
\displaylines{\mathcal{L}\{ \frac{df(t)}{dt}\} = \int_{0^{-}}^{\infty} [ \frac{df(t)}{dt}] e^{-st} dt \newline~ \newline
(利用分部积分法求得)}
$$
12.5.4 积分
将时域中的积分运算转化为 s 域中的除法运算.
$$
\displaylines{\mathcal{L}\{\int_{0^{-}}^{t} f(x) dx\} = \int_{0^{-}}^{\infty} [\int_{0^{-}}^{\infty} f(x)dx] e^{-st} dt}
$$
最终可推出:
$$
\displaylines{\mathcal{L}\{\int_{0^{-}}^{t} f(x) dx\} = \frac{F(s)}{s} \newline~ \newline
(同样利用分部积分法求得)}
$$
12.5.5 时域平移
对于任意函数 $f(t)u(t)$ , 若在时间轴上平移一个常数 a, 则可用同一种形式的函数表示 $f(t-a)u(t-a)$. 时域中的平移对应于频域中乘以一个指数:
$$
\displaylines{\mathcal{L}\{(t-a)(u-a)\} = e^{-as}F(s),\ a > 0}
$$
如:
$$
\displaylines{\mathcal{L}\{tu(t)\} = \frac{1}{s^2}}
$$
则, $(t-a)u(t-a)$ 的拉氏变换为:
$$
\displaylines{\mathcal{L}\{(t-a)u(t-a)\} = \frac{e^{-as}}{s^2}}
$$
12.5.6 频域平移特性
频域中的平移对应于时域中乘以指数:
$$
\displaylines{\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\} = F(s+a)}
$$
12.5.7 尺度变换
当时间变量乘以一个常数后, 尺度变换给出了 $f(t)$ 和 F(s) 之间的关系:
$$
\displaylines{\mathcal{L}\{f(at)\} = \frac{1}{a}F ( \frac{s}{a}),\ a > 0}
$$
算子变换简表:
12.6 拉氏变换的应用
12.7 拉氏逆变换
对线性集总电路, 其元件值 (可能就是指电阻值, 电容值之类的) 是常数, 因此, 其未知电压和电流的 s 域表达式也是 s 的有理函数.
求出 s 域的逆变换即求出电压和电流的时域表达式, 通常需要求以下形式的函数逆变换:
$$
\displaylines{F(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{a_n s^n + a_{n-1}s^{n-1} + … + a_1s + a_0 }{b_m s^m + b_{m-1}s^{m-1} + … + b_1s + b_0}}
$$
系数 $a\ 和\ b$ 是实常数, 指数 $m\ 和\ n$ 为正整数, 若:
- $m > n$, 则 $\frac{N(s)}{D(s)}$ 称为有理真分式
- $m \le n$, 则 $\frac{N(s)}{D(s)}$ 称为有理假分式
12.8 F(s) 的零极点
方程:
$$
\displaylines{F(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{a_n s^n + a_{n-1}s^{n-1} + … + a_1s + a_0 }{b_m s^m + b_{m-1}s^{m-1} + … + b_1s + b_0}}
$$
也可以写成两个多项式因式分解的比:
$$
\displaylines{F(s) = \frac{K(s+z_1)(s+z_2)…(s+z_n)}{(s+p_1)(s+p_2)…(s+p_m)} \newline~ \newline
K = \frac{a_n}{b_m}}
$$
如, 将:
$$
\displaylines{F(s) = \frac{8s^2 + 120s + 400}{2s^4 + 20 s^3 + 70 s^2 + 100 s + 48}}
$$
写成:
$$
\displaylines{ \frac{8(s^2 + 15s + 50)}{2 \times (s^4 + 10 s^3 + 35 s^2 + 50 s + 24)} \newline~ \newline
= \frac{4 \times (s+5)(s+10)}{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)}}
$$
此时, 分母多项式的根, 称为 F(s) 的极点. (因为当 s 为这些值时, 函数 $F(s)$ 趋于无穷大, 这个”极” 可能就是代表无穷大)
分子多项式的根 称为 $F(s) 的零点$.
可以将 $F(s)$ 的零, 极点看成是 s 平面上的点, 因为多项式的根可能是复数, 因此要用复平面, 用横轴表示 s 实部的值, 纵轴表示 s 虚部的值, 如:
此处代表的是函数:
$$
\displaylines{F(s) = \frac{10 \times (s+5)(s + 3 - j4)(s + 3 + j4)}{s(s+10)(s+6-j8)(s+6+j8)}}
$$
的画法.
$\times$ 表示极点, $\circ$ 表示零点.
n 阶零点指 , 如:
$$
\displaylines{ \frac{8(s^2 + 15s + 50)}{2 \times (s^4 + 10 s^3 + 35 s^2 + 50 s + 24)} \newline~ \newline
= \frac{4 \times (s+5)(s+10)}{(s+1)(s+2)(s+3)(s+4)}}
$$
在 $s$ 很大时, 这个式子趋近于写成:
$$
\displaylines{ \frac{4}{s^2}}
$$
这时的零点就叫做二阶零点.
第13章 拉氏变换在电路分析中的应用
拉氏变换的特点:
- 将线性常系数微分方程转化为容易处理的线性多项式方程
- 将电流和电压变量的初始值自动引入多项式方程
13.1 s 域中的电路元件
对电路元件, 建立 s 域等效电路的过程:
- 写出关于输出端电压和电流的时域方程
- 对方程进行拉氏变换, 产生一个 s 域电流和电压的代数方程 (变换后, 电压单位为 $V \cdot s$, 电流单位变为 $A \cdot s$, s 域中电压和电流之比的单位为 $V/A$, s 域阻抗的单位为 $\Omega$)
- 建立一个满足 s 域电压和电流间关系的电路模型
13.1.1 s 域中的电阻
电阻在 s 域中的等效电路仍然是一个 R 欧姆的电阻:
$$
\displaylines{v = Ri \newline~ \newline
拉氏变换:\ V = RI \newline~ \newline
其中:\ V = \mathcal{L}\{v\},\ I = \mathcal{L}\{i\}
}
$$
13.1.2 s 域中的电感
$$
\displaylines{v = L \frac{di}{dt} \newline~ \newline
拉氏变换:\ V = L[sI-i(0^{-})]= sLI - LI_0}
$$
电感 $L$, 初始电流为 $I_0$ 在 s 域中等效电路有两种形式.
- 一个为包含 $sL$ 欧姆的阻抗串联一个 $LI_0\ V \cdot s$ 的电压源.
- 一个为包含 $sL$ 欧姆的阻抗并联一个 $I_0/s$ 的电流源并联 (此时 $I = \frac{V+LI_0}{sL} = \frac{V}{sL} + \frac{I_0}{s}$)
13.1.3 s 域中的电容
具有初始电压的电容也有两个 s 域等效电路, 如, 具有初始电压 $V_0$ 的电容, 端口电流为:
$$
\displaylines{i = C \frac{dv}{dt} \newline~ \newline
拉氏变换:\ I = C[sV - v(0^{-})] \newline~ \newline
= sCV - CV_0}
$$
其表明 s 域的电流 $I$ 是两个支路电流之和.
等效电路如:
什么是导纳
13.2 s 域中的电路分析
若电感或电容中无初始储能, 则对每个无源元件, 其伏安关系均为:
$$
\displaylines{V = ZI}
$$
$Z$ 是元件的 s 域阻抗. 这个式子也常指 s 域的欧姆定律. s 域中常见有:
- 电阻的阻抗为 $R$
- 电感的阻抗为 $sL$
- 电容的阻抗为 $\frac{1}{sC}$
阻抗的倒数是导纳. s 域中常见有:
- 电阻的导纳为 $\frac{1}{R}$ 西门子
- 电感的导纳为 $\frac{1}{sL}$ 西门子
- 电容的导纳为 $sC$ 西门子
基尔霍夫定律 对 s 域的电流和电压同样适用.
(节点电压, 网孔电流, 电源变换和戴维南-诺顿等效都是正确的方法)
13.3 应用
13.3.1 RC 电路的固有响应
13.3.2 并联电路的阶跃响应
13.3.3 并联 RLC 电路的暂态响应
13.3.4 多网孔电路的阶跃响应
13.3.5 戴维南等效电路的应用
13.3.6 含耦合电感的电路
13.3.7 叠加原理的应用
13.4 转移函数
转移函数定义为 s 域中输出响应的拉氏变换与输入激励的拉氏变换之比.
$$
\displaylines{H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}}
$$
$Y(s)$ 指输出信号的拉氏变换. $X(s)$ 指输入信号的拉氏变换. (记忆技巧, 一般的函数都写成 $y = ax + b$, $y$ 就是输出, $x$ 就是输入)
若电路中存在多个独立电源, 那么可以为每个电源都求出一个转移函数, 并用 叠加原理 求出所有电源作用时的响应.
13.4.1 $H(s)$ 零极点的位置
13.5 转移函数的部分分式展开式
13.5.1 $H(s)$ 在电路分析中的应用
13.6 转移函数和卷积积分
13.7 转移函数和正弦稳态响应
如果已经求出电路的转移函数, 就不需要单独对电路进行相量分析来求稳态响应, 而可以直接 用转移函数来建立激励源和稳态响应的关系.
(可以看出, 转移函数的作用可能就是方便求解响应)
第14章 选频电路
这里的 频率 都是指正弦电压(电流)源 中的 $\omega$, 如: $i(t) = A \cos (\omega t + \phi)$ 中的 $\omega$
电源频率的变化对电路中电压和电流的影响, 分析结果就是电路的 频率响应.
能使处于某个频率范围内的输入信号得到输出, 这种电路被称为 选频电路
选频电路也被称为 滤波器 , 因为能够滤掉某些频率的信号.
(严格来说, 实际的选频电路并不能完全滤掉所选的频率信号, 其只是衰减信号, 削弱或减小所有指定频带之外的输入信号)
这里利用 转移函数的幅值 ， 其实就是用来判断低通还是高通 (其实也不能这样说), 在某个频率时, 幅值大表示通过. (毕竟输出电压的比例更大了)
14.1 预备知识
从输入端到输出端能够通过的信号频带称为 通频带
不在电路通频带内的频率范围称为阻带.
确定选频电路类型的方法之一是根据频率响应曲线 , 频率响应曲线表明了电路转移函数随电源频率的变化情况. 其包含两个部分:
- $\left\vert H(j \omega) \right\vert$ 对频率 $\omega$ 的曲线, 称为 幅频特性曲线 (这里相当与把 $s$ 替换为了 $j \omega$, 前面说了, $s$ 的单位为频率, 是频率的表达式)
- 相位角 $\theta(j\omega)$ 对频率 $\omega$ 的曲线, 称为 相频特性曲线
四种主要滤波器的理想频率响应曲线:
高通和低通这些都是相对于 截止频率 而言. 从这个图可以看出, 理想的情况下, 通过的频率没有受到任何衰减, 且范围是到截止频率为止.
(转移函数的结果的模似乎就是 幅值)
14.2 低通滤波器
两个低通滤波器:
- 串联 RL 电路
- 串联 RC 电路
14.2.1 串联 RL 电路的定性分析
这里假设:
- 电路输入的是频率变化的正弦电压
- 输出为电阻两端的电压
响应曲线为:
(从图中可以看出, 这并不是理想的情况, 理想的滤波器到截止频率为止幅值都为 1, 而此后都为 0)
由于:
$$
\displaylines{H(j \omega) = \frac{V_o(j \omega)}{V_i (j \omega)}}
$$
可以看出, 由于电感的阻抗变大, 其两端的电压变大,导致电阻两端的电压变小.
14.2.2 截止频率的定义
截止频率 $\omega_c$ (cutoff frequency). 定义为: 转移函数的幅值由其最大值降为最大值的 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 时的频率 (注意这里不同的电路, 其 转移函数的最大值可能不同 ):
$$
\displaylines{ \left\vert H(j\omega_c) \right\vert = \frac{1}{\sqrt{2}} H_{max}}
$$
(转移函数的幅值似乎就是转移函数的模)
当频率为 $\omega_c$ 时, 电路提供的平均功率是最大平均功率的 $\frac{1}{2}$, 因此, $\omega_c 也被称为半功率点频率$ . 因此, 在通带内, 传递给负载的功率至少是其最大平均功率的 $50%$.
(这里书上也讲了为什么取 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 这个点, 应该就是由于这个 $\frac{1}{2}$)
14.2.3 串联 RL 电路 – 定性分析
下图:
的 s 域等效电路模型为:
由此可得到转移函数为:
$$
\displaylines{H(s) = \frac{R}{sL + R}\ (总阻抗和输出元件的阻抗之比就相当于总输入电压与输出电压之比) \newline~ \newline
= \frac{R/L}{s + R/L} \newline~ \newline
\because s = j \omega \newline~ \newline
H(s) = H(j \omega) = \frac{R/L}{j \omega + R/L} \newline~ \newline
(化简成这种形式是有用的, 见后面可知, 就是\ H(s) = \frac{\omega_c}{s + \omega_c})}
$$
此时可以根据这个转移函数得到两个定义:
- 转移函数的振幅 (似乎不是平方后开方得到的)
- 转移函数的相位
$$
\displaylines{ \left\vert H(j \omega) \right\vert = \frac{R/L}{\sqrt{ \omega^2 + (R/L)^2}}\ \ (可以用来画幅频曲线)\newline~ \newline
\theta(j \omega) = -arctan( \frac{\omega L}{R})
}
$$
计算截止频率
$$
\displaylines{ \left\vert H(j \omega) \right\vert = \frac{1}{\sqrt{2}} \left\vert 1 \right\vert = \frac{R/L}{\sqrt{ \omega^2_c + (R/L)^2}} \newline~ \newline
\omega_c = \frac{R}{L}}
$$
( $H_{max} = 1$ 这个很容易得到, 这里的输出电压不会大于输入电压)
由此得到的结论 , 只要适当选择 R 和 L 的参数, 截止频率 $\omega_c$ 可以设置成任意值. (即设计任意截止频率的低通滤波器)
示例 , 滤掉 $10Hz$ 以上的信号, 注意此时 $\omega_c$ 的值不是 $10Hz$, 而是 $2 \pi \times (10) = 20 \pi\ rad/s$. ( $\omega = 2 \pi f$)
14.2.4 串联 RC 电路
定性分析 可以预测滤波器的特性 (低通, 高通等), 也能预测转移函数的一般形式.
这里电路的输出定义为 电容两端的电压 :
由三个频率确定性质:
由此可知其为低通滤波器.
幅值计算为:
$$
\displaylines{\left\vert H(j \omega) \right\vert = \frac{ \frac{1}{RC}}{\sqrt{ \omega^2 + ( \frac{1}{RC})^2}}}
$$
截止频率为:
$$
\displaylines{ \omega_c = \frac{1}{RC}}
$$
两个低通滤波器的转移函数的通用式子为 :
$$
\displaylines{H(s) = \frac{\omega_c}{s + \omega_c}}
$$
14.2.5 频域和时域的关系
电路的时间常数和截止频率的关系:
$$
\displaylines{\tau = \frac{1}{\omega_c}}
$$
如, RL 电路的时间常数为 $\frac{L}{R}$, 其截止频率为 $\frac{R}{L}$.
14.3 高通滤波器
作为高通滤波器的两个电路:
- 串联 RL 电路
- 串联 RC 电路
同样的电路, 根据所选的输出电压不同, 可以在低通滤波器和高通滤波器中转换.
对于高通滤波器 $H_{max} = \left\vert H(j \infty) \right\vert$
14.3.1 串联 RC 电路 – 定性分析
比如此时的输出电压为 电阻两端的电压 (低通为电容两端电压)
结论图:
14.3.2 串联 RC 电路 – 定量分析
下图:
在 s 域的等效模型为:
转移函数:
$$
\displaylines{H(s) = \frac{s}{s+ \frac{1}{RC}} \newline~ \newline
令\ s = j \omega: \newline~ \newline
H(j \omega) = j \omega + \frac{1}{RC}}
$$
(这里同样是利用电阻阻抗和总阻抗之比表示)
得到转移函数幅值方程和相位角方程:
$$
\displaylines{ \left\vert H(j \omega) \right\vert = \frac{\omega}{\sqrt{\omega^2 + (1/RC)^2}} \newline~ \newline
\theta(j \omega) = 90^\circ - arctan \omega RC}
$$
截止频率计算
$$
\displaylines{ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\omega_c}{\sqrt{\omega_c^2 + (1/RC)^2}} \newline~ \newline
\therefore \omega_c = \frac{1}{RC}}
$$
注意 , 不论将同一个电路改成高通电路还是低通, 其 截止频率不变 (比较时间常数没变)
串联 RL 高通滤波器
此时的输出电压为 电感 L 两端电压.
转移函数为:
$$
\displaylines{H(s) = \frac{s}{s + R/L} \newline~ \newline
令 s = j \omega: \newline~ \newline
H(j \omega) = \frac{j \omega}{j \omega + R/L}}
$$
幅值:
$$
\displaylines{ \left\vert H(j \omega) \right\vert = \frac{\omega}{\sqrt{ \omega^2 + (R/L)^2}}}
$$
截止频率为:
$$
\displaylines{ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\omega_c}{\sqrt{\omega_c^2 + (R/L)^2}} \newline~ \newline
\therefore \omega_c = \frac{R}{L}}
$$
(同样没变)
带负载的串联 RL 高通滤波器
图像如:
转移函数为:
$$
\displaylines{H(s) = \frac{ \frac{R_L s L}{R_L + s L}}{R + \frac{R_L s L}{R_L + s L}} = \frac{( \frac{R_L}{R + R_L})s}{s + ( \frac{R_L}{R + R_L}) \frac{R}{L}} = \frac{K s}{s + \omega_c} \newline~ \newline
其中 \newline~ \newline
K = \frac{R_L}{R + R_L},\ \omega_c = K R/L}
$$
( $R_L$ 为负载电阻 )
将无负载滤波器和带负载滤波器进行对比 :
$$
\displaylines{H(s) = \frac{K s}{s + K (R/L)}}
$$
得出, 对于 无负载滤波器 而言, $K = 1$, 对于 有负载滤波器 而言, $K = R_L / (R + R_L)$.
可以得出: 在滤波器中加负载会减小其输出幅值.
14.4 带通滤波器
理想的带通滤波器有两个截止频率 $\omega_{c1}\ 和\ \omega_{c2}$, 这两个频率确定了通带.
14.4.1 中心频率, 带宽和品质因数
三个表征带通滤波器的参数:
- 中心频率 (谐振频率) $\omega_o$, 定义为当电路的转移函数分母为纯实数时的频率值, 也是通带的几何中心 $\omega_o = \sqrt{\omega_{c1} \omega_{c2}}$, 且此时转移函数的 幅值最大
- 带宽 $\beta$, 通带的宽度, 其值为两个截止频率之差 $\beta = \omega_{c2} - \omega_{c1}$ (谁减谁视情况而定)
- 品质因数 $Q$, 是中心频率和宽带的比值 (品质因数越高滤波器的带宽越窄，因此能通过的信号越少，滤波效果越好。品质因数越低，滤波器的带宽越宽，因此能通过的信号越多，滤波效果越差。一句话, 高窄低宽)
5 个特征参数: $\omega_{c1},\ \omega_{c2},\ \omega_0,\ \beta\ 和\ Q$, 只有两个参数独立 (已知任何两个, 可以计算出其他三个)
14.4.2 串联 RLC 电路 – 定性分析
如图:
考虑到, 电容的阻抗为负, 电感的阻抗为正, 在某一频率上, 电容的阻抗和电感的阻抗会大小相等, 符号相反, 相互抵消, 此时, 输出电压等于输入电压 (这一特殊频率就是中心频率)
频率响应曲线:
14.4.3 串联 RLC 电路 – 定量分析
图:
在 s 域的等效模型为:
转移函数为:
$$
\displaylines{H(s) = \frac{(R/L)s}{s^2 + (R/L)s + (1/LC)} \newline~ \newline
(同样是利用电阻的阻抗与总阻抗之比, 等效于输出电压与输入电压之比)}
$$
幅值和相位角方程:
$$
\displaylines{ \left\vert H(j \omega) \right\vert = \frac{ \left\vert (R/L)s \right\vert }{ \left\vert s^2 + (R/L)s + (1/LC) \right\vert }\newline~ \newline
(分母的模长就可以用复数求模长的方法) \newline~ \newline
= \frac{\omega (R/L)}{\sqrt{[(1/LC) - \omega^2]^2 + [\omega (R/L)]^2}} \newline~ \newline
\theta (j \omega) = 90^\circ - arctan[ \frac{\omega (R/L)}{(1/LC) - \omega^2}]}
$$
求解中心频率 $\omega_o$
当电感和电容的阻抗相加为零时:
$$
\displaylines{j \omega_o L + \frac{1}{j \omega_o C} = 0 \newline~ \newline
\omega_o = \sqrt{ \frac{1}{LC}}}
$$
计算截止频率 $\omega_{c1}\ 和\ \omega_{c2}$, 当转移函数的幅值为 $(1/\sqrt{2})H_{max}$ 时 (这里 $H_{max} = \left\vert H(j \omega_o) \right\vert$)
先计算 $H_{max}$ (注意此时有一个已知条件, 即此时的频率为 $\omega_o$)
$$
\displaylines{H_{max} = \left\vert H(j \omega_o) \right\vert \newline~ \newline
= 1 \ (省略了中间, 具体看书)
}
$$
因此截止频率计算为:
$$
\displaylines{ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\omega_c (R/L)}{\sqrt{[(1/LC) - \omega_c^2]^2 + [\omega_c (R/L)]^2}} \newline~ \newline
最终可得: \newline~ \newline
\pm 1 = \omega_c \frac{L}{R} - \frac{1}{\omega_c RC} \newline~ \newline
\omega_c^2 L \pm \omega_c R - \frac{1}{C} = 0 \newline~ \newline
解出: \newline~ \newline
\omega_{c1} = - \frac{R}{2L} + \sqrt{( \frac{R}{2L})^2 + ( \frac{1}{LC})} \newline~ \newline
\omega_{c2} = \frac{R}{2L} + \sqrt{( \frac{R}{2L})^2 + ( \frac{1}{LC})} \newline~ \newline
(解出有四个,\ 两个为正数,\ 这里应该把上面的一元二次方程除以了\ 2L)
}
$$
带宽计算
这里 $\omega_{c2} > \omega_{c1}$
$$
\displaylines{\beta = \omega_{c2} - \omega_{c1} \newline~ \newline
= \frac{R}{L} \newline~ \newline
(计算过程简写了)}
$$
品质因数计算 (中心频率与带宽之比)
$$
\displaylines{Q = \frac{\omega_o}{\beta} = \frac{(1/LC)}{R/L} = \sqrt{ \frac{L}{CR^2}}}
$$
另外推导出的公式
并联 RLC 带通滤波器设计
如图:
计算转移函数 $H(s)$ 的表达式
$$
\displaylines
{
Z_{eq}(s) = \frac{ \frac{L}{C} }{sL + \frac{1}{sC}} \newline~ \newline
H(s) = \frac{ \frac{s}{RC} }{s^2 + \frac{s}{RC} + \frac{1}{LC}}
}
$$
计算转移函数幅值最大值
$$
\displaylines
{
\left\vert H(j \omega) \right\vert = \frac{ \frac{\omega}{RC} }{ \sqrt{ ( \frac{1}{LC} - \omega^2 )^2 + ( \frac{\omega}{RC} )^2} } = \frac{1}{ \sqrt{ 1 + ( \omega RC - \frac{1}{ \omega \frac{L}{R} } )^2 } }
}
$$
当:
$$
\displaylines
{
( \frac{1}{LC} - \omega^2 )^2 = 0
}
$$
时, 转移函数的幅值最大:
$$
\displaylines
{
\omega_o = \sqrt{ \frac{1}{LC} } \newline~ \newline
且 \newline~ \newline
H_{max} = \left\vert H(j \omega_o) \right\vert = 1
}
$$
计算截止频率
因为:
$$
\displaylines
{
\frac{1}{\sqrt{2}} H_{max} = \frac{1}{\sqrt{2}}
}
$$
带入幅值方程化简可得:
$$
\displaylines
{
\omega_c RC - \frac{1}{ \omega_c \frac{L}{R} } = \pm 1
}
$$
其可得到一个 二次方程 , 得出有 4 个解, 但只有其中两个为正, 则有:
$$
\displaylines
{
\omega_{c1} = - \frac{1}{2RC} + \sqrt{ ( \frac{1}{2RC} )^2 + \frac{1}{LC}} \newline~ \newline
\omega_{c2} = \frac{1}{2RC} + \sqrt{ ( \frac{1}{2RC} )^2 + \frac{1}{LC}} \newline~ \newline
}
$$
计算带宽
$$
\displaylines
{
\beta = \omega_{c2} - \omega_{c1} \newline~ \newline
= \frac{1}{RC}
}
$$
计算品质因数
$$
\displaylines
{
Q = \frac{\omega_o}{\beta} = \sqrt{ \frac{R^2C}{L} }
}
$$
根据中心频率和带宽确定截止频率
$$
\displaylines
{
\omega_{c1} = - \frac{\beta}{2} + \sqrt{ (\frac{\beta}{2})^2 + \omega_o^2 } \newline~ \newline
\omega_{c2} = \frac{\beta}{2} + \sqrt{ (\frac{\beta}{2})^2 + \omega_o^2 } \newline~ \newline
}
$$
利用带宽计算电阻 R, 在给定电容的情况下
$$
\displaylines
{
R = \frac{1}{\beta C} = \frac{1}{2 \pi \times (200) \times (5 \times 10^{-6})} = 159.15 \Omega
}
$$
已知中心频率值和电容值计算电感
$$
\displaylines
{
L = \frac{1}{\omega_o^2 C} = \frac{1}{[ 2 \pi (5000) ]^2 \times ( 5 \times 10^{-6} )} = 202.64\mu H
}
$$
14.4.4 时域与频域的关系
14.5 带阻滤波器
将两个截止频率外侧的电源电压信号传输到输出端.
同样具有五个特性参数, 两个截止频率, 中心频率, 带宽和品质因数.
14.5.1 串联 RLC 电路 – 定性分析
和串联 RLC 带通滤波器的电路图相同, 只不过此时的 输出电压为电容和电感串联的电压 :
频率响应曲线:
14.5.2 串联 RLC 电路 – 定量分析
下图:
在 s 域的等效电路为:
同样利用分压公式写出转移函数:
$$
\displaylines{H(s) = \frac{sL + \frac{1}{sC}}{R + sL + \frac{1}{sC}} = \frac{s^2 + \frac{1}{LC}}{s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC}}}
$$
令 $s = j \omega$, 得到幅值和相位角方程:
$$
\displaylines{ \left\vert H(j \omega) \right\vert = \frac{ \left\vert \frac{1}{LC} - \omega^2 \right\vert}{\sqrt{ ( \frac{1}{LC} - \omega^2)^2 + ( \frac{\omega R}{L})^2}} \newline~ \newline
\theta (j \omega) = -arctan( \frac{ \frac{\omega R}{L}}{ \frac{1}{LC} - \omega^2})}
$$
计算中心频率
利用电容和电感的阻抗之和为零时的频率, 得出:
$$
\displaylines{\omega_o = \sqrt{ \frac{1}{LC}}}
$$
计算截止频率
利用此时的幅值为 $(1/\sqrt{2})H_{max}$, 则 $\omega_{c1}\ 和\ \omega_{c2}$ 为:
$$
\displaylines{
\omega_{c1} = - \frac{R}{2L} + \sqrt{( \frac{R}{2L})^2 + ( \frac{1}{LC})} \newline~ \newline
\omega_{c2} = \frac{R}{2L} + \sqrt{( \frac{R}{2L})^2 + ( \frac{1}{LC})} \newline~ \newline
}
$$
带宽计算, 两个截止频率之差, 这里为 $\omega_{c2} - \omega_{c1}$:
$$
\displaylines{\beta = R/L}
$$
计算品质因数, 中心频率和带宽之比
$$
\displaylines{Q = \sqrt{ \frac{L}{R^2 C}}}
$$
其他推导出的公式
第15章 有源滤波器电路
无源滤波器 , 即滤波器电路只是由电阻, 电感, 电容组成的.
有源滤波器 , 是使用了理想运算放大器的滤波电路. 其优点有:
- 不用电感 就能形成带通和带阻滤波器
- 无源滤波器的最大幅值不超过 1. 而有源滤波器 能对幅值进行放大控制
- 无源滤波器的截止频率和通带幅值会因阻性负载的加入而改变, 有源滤波器由于理想运放的特性, 不会出现这种情况
15.1 一阶低通和高通滤波器
一阶低通滤波器如图:
这里的运放相当于一个放大倍数为 $-\frac{R_2}{R_1}$ 的放大器.
转换为 s 域等效电路为:
这里, $Z_i$ 为输入端电阻的阻抗, $Z_f$ 为反馈通道上电阻和电容并联的阻抗.
因此:
$$
\displaylines{H(s) = -\frac{Z_f}{Z_i} = -K \frac{\omega_c}{s + \omega_c} \newline~ \newline
K = \frac{R_2}{R_1} \newline~ \newline
\omega_c = \frac{1}{R_2 C}}
$$
(这里的负号, 是由于反相放大器电路的输出电压和输入电压符号相反, 因此转移函数的值也是负数)
这里的 $K$ 同时就是放大倍数.
附录 D 分贝
为了计算信号通过级联电路 (感觉就是几个相连的电路) 后的功率损失, 引入的分贝.
如这里的三个级联的电路:
一个概念 功率放大系数 , 就是输出功率和输入功率之比. (小于 1 当然就是有损耗)
这里的三个功率放大系数为:
$$
\displaylines{ \sigma_A = \frac{p_1}{p_i},\ \sigma_B = \frac{p_2}{p_1},\ \sigma_C = \frac{p_o}{p_2}}
$$
总的为:
$$
\displaylines{ \frac{p_o}{p_i} = \frac{p_1}{p_i} \frac{p_2}{p_1} \frac{p_o}{p_2} = \sigma_A \sigma_B \sigma_C}
$$
通过取对数, 将乘积转化为加法(可能是为了简化计算):
$$
\displaylines{\lg \frac{p_o}{p_i} = \lg \sigma_A + \lg \sigma_B + \lg \sigma_C}
$$
为了纪念 Alexander Graham Bell, 这个 功率比的对数 称为 bel (贝尔). 但这个数一般比较大, 就取其十分之一来计算, 称为分贝 (可能是 1 角钱等于 10 分钱这种关系, 分就代表十分之一):
$$
\displaylines{
贝尔数 = \lg \frac{p_o}{p_i} \newline~ \newline
分贝数 = \lg \frac{p_o}{p_i} / 10}
$$
而当 电路的输入电阻等于负载电阻 时, 可以将功率之比转化为 电压之比 或 电流之比 :
毕竟
$$
\displaylines{ \frac{p_o}{p_i} = \frac{v^2_{out}/R_L}{v^2_{in}/R_{in}} = ( \frac{v_{out}}{v_{in}})^2 \newline~ \newline
\frac{p_o}{p_i} = \frac{i^2_{out} R_L}{i^2_{in} R_{in}} = ( \frac{i_{out}}{i_{in}})^2}
$$
(这里也可以看出为什么 10 倍变成了 20 倍, 因为有个平方, 拿出对数后变成 2)
因此:
$$
\displaylines{分贝数 = 20 \lg \frac{v_{out}}{v_{in}} \newline~ \newline
= 20 \lg \frac{i_{out}}{i_{in}}}
$$
15.1.1 关于频率响应曲线的知识
两个曲线:
- 转移函数的幅频特性曲线
- 转移函数的相频特性曲线
通常画在同一个平面上, 共用频率轴.
伯德图 特点:
- 使用频率的对数坐标
- 以分贝 (dB) 为纵轴, 以频率的对数为横轴, 如果转移函数的幅值为 $\left\vert H(j \omega) \right\vert$, 其分贝值为:
$$
\displaylines{ A_{dB} = 20 \lg \left\vert H(j \omega) \right\vert}
$$
($\left\vert H(j \omega) \right\vert$ 就是输出电压与输入电压之比, 且注意这里有单位 dB)
几个结论:
$A_{dB} = 0$ 时, 转移函数的幅值为 1 ( $20 \lg(1) = 0$)
$A_{dB} < 0$ 时, 转移函数的幅值在 $0 \sim 1$ 之间.
$A_{dB} > 0$ 时, 转移函数的幅值大于 1.
$20 \lg \left\vert 1/\sqrt{2} \right\vert = -3 dB$, 表明, 截止频率时的分贝比最大幅值时的分贝小 $3 dB$, 比如最大为 $26dB$, 则截止频率时为 $26 - 3 = 23 dB$
15.1.2 一阶高通滤波器
如图:
此时的输入阻抗为 $R_1$ 和 $C$ 的串联, 输出阻抗 为反馈通道的 $R_2$.
转移函数为:
$$
\displaylines{H(s) = - \frac{Z_f}{Z_i} = \frac{-R_2}{R_1 + \frac{1}{sC}} = - K \frac{s}{s + \omega_c} \newline~ \newline
K = \frac{R_2}{R_1} \newline~ \newline
\omega_c = \frac{1}{R_1 C}}
$$
15.2 比例变换
比例变换, 即先用便利的元件数值进行计算, 最后再换算成实际值.
有两种比例计算:
- 幅值
- 频率
幅值比例变换: 在 给定频率下 将 阻抗 乘以一个比例系数 $k_m$, 则有:
$$
\displaylines{R^\prime = k_m R,\ L^\prime = k_m L,\ C^\prime = C/k_m}
$$
(这里就是, 目的是为了让电阻电感元件值变为原来的 $k_m$ 倍, 电容变为原来的 $1/k_m$ 倍, 而此时电路转移函数幅值的变化其实是不知道的. 为什么电容是除法, 因为电容的阻抗为负数, 除以一个数就等同于放大多少倍)
频率比例变换, 改变电路参数, 以使各元件的阻抗在新频率下的值和原来的值相等.
$$
\displaylines{R^\prime = R,\ L^\prime = L/k_f,\ C^\prime = C/k_f}
$$
(这里的意思, 就是通过改变电容, 电感, 电阻等元件的值来保证阻抗不变, 阻抗不变也就是 $H(j\omega)$ 的值不变. 如, 如果截止频率增大了两倍, 此时, $k_f = 2$, 则由 $Z_L = j \omega L$ 可知, 电感的阻抗也增大了两倍, 要想原电路的阻抗不变, 那么就将电感的值变为原来的 $\frac{1}{2}$, 也就有了 $L^\prime = L / k_f$)
同时变换 (就结果而言就是上面两个乘在一起):
$$
\displaylines{R^\prime = k_m R,\ L^\prime = \frac{k_m}{k_f} L,\ C^\prime = \frac{1}{k_m k_f} C}
$$
15.2.1 比例变换在运放滤波器设计中的应用
在运放滤波器设计中使用比例变换概念, 首先选择
- 截止频率 $\omega_c$ 为 $1\ rad/s$ (若要设计低通或高通滤波器), 或选择中心频率 $\omega_o$ 为 $1\ rad/s$ (若设计带通或帶阻滤波器)
- $1\ F$ 电容的
- 根据要求的通带放大系数和截止频率, 中心频率来计电阻值算
- 利用比例变换计算实际元件值
在同时变换幅值和频率时, 已知一个比例系数可以计算另一个.
15.3 运放带通和带阻滤波器
15.3.1 运放带通滤波器
带通滤波器可以分成三个独立的部分:
- 单位放大倍数的 低通滤波器, 截止频率为 $\omega_{c2}$, 且为两个截止频率中的较大者
- 单位放大倍数的 高通滤波器, 截止频率为 $\omega_{c1}$, 且为两个截止频率中的较小者
- 放大部分
三个部分是级联的.
宽带滤波器的一般定义要求两个截止频率满足:
$$
\displaylines{ \frac{\omega_{c2}}{\omega_{c1}} \ge 2}
$$
还有一个要求: 在低通滤波器的截止频率处, 高通滤波器的幅值为 1, 在高通滤波器的截止频率处, 低通滤波器的幅值为 1.
级联带通滤波器的转移函数 是三个级联电路转移函数之积.
$$
\displaylines{H(s) = \frac{V_o}{V_i} \newline~ \newline
= ( \frac{-\omega_{c2}}{s + \omega_{c2}}) ( \frac{-s}{s + \omega_{c1}}) ( \frac{- R_f}{R_i}) \newline~ \newline
= \frac{-K \omega_{c2} s}{(s + \omega_{ci}) (s + \omega_{c2})} \newline~ \newline
= \frac{-K \omega_{c2} s}{s^2 + (\omega_{c1} + \omega_{c2}) s + \omega_{c1} \omega_{c2}}}
$$
(为乘积也很好理解, 需要的同样是输入电压和输出电压之比, 相当于: $H(s) = \frac{V_1}{V_i} \frac{V_2}{V_1} \frac{V_o}{V_2}$)
这里的值可以另取名为:
$$
\displaylines{H_{BP} = \frac{\beta s}{s^2 + \beta s + \omega_o^2}}
$$
若要将其转换为带通滤波器转移函数的标准形式 (标准形式是什么 ?), 需要:
$$
\displaylines{\omega_{c2} \gg \omega_{c1} \newline~ \newline
则: \newline~ \newline
(\omega_{c1} + \omega_{c2}) \approx \omega_{c2} \approx \omega_{c2}) \newline~ \newline
最终得: \newline~ \newline
= \frac{-K \omega_{c2} s}{s^2 + (\omega_{c2}) s + \omega_{c1} \omega_{c2}}
}
$$
级联中的三个电路需分别满足一些要求.
低通滤波器中 $R_L\ 和\ C_L$ 需满足:
$$
\displaylines{\omega_{c2} = \frac{1}{R_L C_L}}
$$
高通滤波器中 $R_H\ 和\ C_H$ 需满足:
$$
\displaylines{\omega_{c1} = \frac{1}{R_H C_H}}
$$
反相放大器中的 $R_i\ 和\ R_f$ 需满足:
先带通滤波器转移函数在中心频率 $\omega_o$ 时的幅值 (不只这里为什么要求):
$$
\displaylines{ \left\vert H(j \omega_o) \right\vert = \left\vert \frac{- K \omega_{c2} (j \omega_o)}{(j \omega_o)^2 + \omega_{c2} (j \omega_{0}) + \omega_{c1} \omega_{c2}} \right\vert \newline~ \newline
= \frac{K \omega_{c2}}{\omega_{c2}} \newline~ \newline
= K}
$$
$$
\displaylines{ \left\vert H(j \omega_o) \right\vert = \frac{R_f}{R_i}}
$$
15.3.2 运放带阻滤波器
同样分为三个独立单元, 特点为:
- 单位放大 低通 滤波器的截止频率为 $\omega_{c1}$, 它是两个截止频率中 较小 的
- 单位放大 高通 滤波器的截止频率为 $\omega_{c2}$, 它是两个截止频率中 较大 的
- 放大单元产生要求的通带放大系数
电路如下:
和运放带通滤波器的重要差别: 这三个单元不能级联, 而是用并联和求和放大器实现.
15.4 高阶运放滤波器
理想滤波器在截止频率处是不连续的, 它将通带和阻带截然分开.
15.4.1 相同滤波器的级联
级联的滤波器越多, 从通带到阻带的变化就越快:
在伯德图中, 一个滤波器的斜率近似为 20dB/十倍频程 (一个十倍频程是指频率每变化十倍, 相差 20dB 的幅值). 由于伯德图的叠加关系, 两个滤波器级联后的斜率近似为 40dB/十倍频程, 三个滤波器级联后的斜率近似为 60dB/十倍频程, 以此类推.
n 个同样的滤波器级联, 从通带到阻带变化的斜率为 20ndB/十倍频程, 如:
此时转移函数的计算为, 将各转移函数相乘:
$$
\displaylines{H(s) = ( \frac{-1}{s+1})( \frac{-1}{s+1})…( \frac{-1}{s+1}) \newline~ \newline
= \frac{(-1)^n}{(s+1)^n}}
$$
滤波器的阶数是由转移函数极点的数量决定的.
实际上, n 个一阶低通滤波器的级联会产生1一个 n 阶滤波器, 它有 n 个极点, 在过渡频带内的斜率为 20n dB/十倍频程.
注意 , 当级联的原型低通滤波器增加时, 截止频率也在变化.
求 n 阶低通滤波器的截止频率
$$
\displaylines{H(s) = \frac{(-1)^n}{(s+1)^n} \newline~ \newline
\left\vert H(j \omega_{cn}) \right\vert = \left\vert \frac{1}{(j \omega_{cn} + 1)^n} \right\vert = \frac{1}{\sqrt{2}} \newline~ \newline
\frac{1}{(\sqrt{\omega_{cn}^2 + 1)^n}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \newline~ \newline
\frac{1}{\omega_{cn}^2 + 1} = ( \frac{1}{\sqrt{2}})^{2/n} \newline~ \newline
\sqrt[n]{2} = \omega^2_{cn} + 1 \newline~ \newline
\omega_{cn} = \sqrt{\sqrt[n]{2} - 1} rad/s
}
$$
(这就是 n 阶低通滤波器的截止频率)
15.5 窄带带通和帶阻滤波器
当截止频率相等时, 即极点位置重合时, 随着离散实极点的出现, 能得到最大的品质函数, 此时的转移函数为:
$$
\displaylines{H(s) = ( \frac{- \omega_c}{s + \omega_c}) = \frac{s \omega_c}{s^2 + 2 \omega_c s + \omega^2_c} = \frac{0.5 \beta s}{s^2 + \beta s + \omega_c^2}
}
$$
该方程为带通滤波器转移函数的标准形式, 因此可以确定带宽和中心频率为:
$$
\displaylines{\beta = 2 \omega_c \newline~ \newline
\omega_o^2 = \omega_c^2}
$$
因此, 品质因数为:
$$
\displaylines{Q = \frac{\omega_0}{\beta} = \frac{\omega_c}{2 \omega_c} = \frac{1}{2}}
$$
结论, 具有离散实极点时, 带通滤波器 (或帶阻滤波器) 的最大品质因数 $Q = 1/2$.
附录 E 伯德图
需要知道 零极点.
伯德图包含两个部分:
- 表示转移函数 $H(j \omega)$ 的幅值如何随频率变化的曲线
- 表示转移函数 $H(j \omega)$ 的相位角如何随频率变化的曲线
为了提高表示频率值宽度范围时的精度, 将波形曲线华仔半对数平面上.
在幅值和相位图中, 频率在横轴用对数刻度绘出, 幅值和相位角用纵轴上的刻度值绘出.